解：知道“压缩映像”原理吗？
不管怎样先介绍一下压缩映像原理：
对于任一数列{xn}而言，若存在常数r，使得对于任一的n∈N，有：
|x(n+1)-x(n)|≤r|x(n)-x(n-1)|,0＜r＜1.(括号里的数表示下标)
则数列{xn}收敛。
证明如下：
因为|x(n+p)-x(n)|≤∑|x(k)-x(k-1)|（n+1≤k≤n+p）
≤∑r^(k-1)|x(1)-x(0)|
=|x(1)-x(0)|·[r^n-r^(n+p)]/(1-r)
二当n趋向于正无穷时，[r^n-r^(n+p)]/(1-r)趋向于0。
由柯西收敛准则知{xn}收敛。
下面证明本题：
因为x(n+2)-x(n+1)=ε{sin[x(n+1)]-sin[x(n)]}
由中值定理有：ε{sin[x(n+1)]-sin[x(n)]}
=ε·[x(n+1)-x(n)]cos(x′) (x′介于x(n)和x(n+1)之间)
所以有|x(n+2)-x(n+1)|=ε·|x(n+1)-x(n)||cos(x′)|
≤ε·|x(n+1)-x(n)| 0＜ε＜1
利用压缩映像原理可知收敛。
即limξ存在，设limξ=x。
那么就有x=a+ε·sin(x),即x是方程x=a+ε·sin(x)的唯一根。
若有两个根则与极限唯一性矛盾。
