题目内容：
已知Sn是数列{an}的前n项和，且an=Sn-1+2（n≥2），a1=2.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=
,Tn=bn+1+bn+2+…+b2n,是否存在最大的正整数k，使得对于任意的正整数n,有Tn＞
恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
正确答案：
（1）an=2·2n-1=2n（2）存在最大正整数k=5使Tn＞恒成立
答案解析：
（1）由已知an=Sn-1+2①
得an+1=Sn+2②
②-①，得an+1-an=Sn-Sn-1 (n≥2),
∴an+1=2an (n≥2).
又a1=2,∴a2=a1+2=4=2a1,
∴an+1=2an (n=1,2,3,…)
所以数列{an}是一个以2为首项，2为公比的等比数列，
∴an=2·2n-1=2n.
(2)bn==
=
,
∴Tn=bn+1+bn+2+…+b2n=
+
+…+
,
Tn+1=bn+2+bn+3+…+b2(n+1)
=+
+…+++
.
∴Tn+1-Tn=+-
=
=
.
∵n是正整数，∴Tn+1-Tn＞0，即Tn+1＞Tn.
∴数列{Tn}是一个单调递增数列，
又T1=b2=
，∴Tn≥T1=,
要使Tn＞恒成立，则有＞,即k﹤6,
又k是正整数，故存在最大正整数k=5使Tn＞恒成立.
考点核心：
等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
