混合积公式

叉乘点乘混合运算公式：混合积具有轮换对称性：(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)=-(a,c,b)=-(c,b,a)=-(b,a,c)。

叉乘点乘混合运算公式

1混合运算公式

混合积具有轮换对称性：(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)=-(a,c,b)=-(c,b,a)=-(b,a,c)

在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。

2向量的数量积的性质

a·a=|a|的平方。a⊥b〈=〉a·b=0。a·b|≤|a|·|b|。（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα|因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）

3向量的数量积与实数运算的主要不同点

1．向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)²≠a²·b²。

2．向量的数量积不满足消去律，即：由a·b=a·c(a≠0)，推不出b=c。

3．|a·b|与|a|·|b|不等价。

4．由|a|=|b|不能推出a=b，也不能推出a=-b，但反过来则成立。

4叉乘和点乘的运算法则

点乘

点乘，也叫向量的内积、数量积。顾名思义，求下来的结果是一个数。

向量a·向量b=|a||b|cos<a,b>

在物理学中，已知力与位移求功，实际上就是求向量F与向量s的内积，即要用点乘。

叉乘

叉乘，也叫向量的外积、向量积。顾名思义，求下来的结果是一个向量，记这个向量为c。

|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin<a,b>

向量c的方向与a,b所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向）。

因此向量的外积不遵守乘法交换率，因为向量a×向量b=-向量b×向量a在物理学中，已知力与力臂求力矩，就是向量的外积，即叉乘。

三重积，又称混合积，是三个向量相乘的结果。向量空间中，有两种方法将三个向量相乘，得到三重积，分别称作标量三重积和向量三重积。设a ，b ，c是空间中三个向量，则 (a×b)·c称为三个向量a，b，c的混合积，记作[a b c]或 (a,b,c) 或 (abc)。

定理：三个向量a ， b ， c 共面的充分必要条件是 (a,b,c)=0。混合积的性质：

(1) (a,b,c) = (b,c,a) = (c,a,b) = - (b,a,c) = - (a,c,b) = - (c,b,a);

(2) (a×b)c=a(b×c)。

定义：设a，b，c是空间中三个向量，则 (a×b)c称为三个向量a，b，c的混合积，记作[a b c]或 (a,b,c) 或 (abc).

设a，b，c为空间中三个向量，则 |(a×b)c| 的几何意义表示以a，b，c为棱的平行六面体的体积 .

因为 (a,b,c)=(a×b)c=|a×b||c|cos 〈a×b，c〉=

|ax bx cx|

|ay by cy|

|az bz cz|

向量的混合积可以用来计算四面体的体积V=1/6*abs([AB AC AD])

从而混合积 (a,b,c) 的符号是正还是负取决于 ∠ (a×b，c) 是锐角还是钝角，即 a×b 与 c 是指向 a ， b 所在平面的同侧还是异侧，这相当于 a ， b ， c 三个向量依序构成右手系还是左手系 .

计算方法： A=(A1,A2,A3) B=(B1,B2,B3) C=(C1,C2,C3)

V=|A B C|=A1B2C3+A2B3C1+A3B1C2-C1B2A3-A2B1C3-A1B3C2

3×3行列式“”方向的数相乘相加减去“/”方向的数相乘相减。