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空间向量共面定理及证明

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  • 共面向量定理

    共面向量的定义:能平移到一个平面上的三个向量称为共面向量。

    共面向量定理是数学学科的基本定理之一。属于高中数学立体几何的教学范畴。主要用于证明两个向量共面,进而证明面面垂直等一系列复杂问题。

    中文名

    共面向量基本定理

    外文名

    Coplanar Vector

    别名

    共面向量定理

    适用领域

    立体几何,空间向量

    应用学科

    数学

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    推论

    内容

    如果两个向量a.b不共线,则向量p与向量a.b共面的充要条件是存在唯一有序实数对(x.y),使p=xa+yb

    定义为:能平移到同一平面上的三个向量叫做共面向量

    推论

    推论1

    设O、A、B、C是不共面的四点,则对空间任意一点P,都存在唯一的有序实数组(x,y,z)

    使得OP=xOA+yOB+zOC 说明:若x+y+z=1 则PABC四点共面

    (1)唯一性:

    设另有一组实数x',y',z' 使得OP=x'OA+y'OB+z'OC

    则有xOA+yOB+zOC=x'OA+y'OB+z'OC

    ∴(x-x')OA+(y-y')OB+(z-z')OC=0

    ∵OA、OB、OC不共面

    ∴x-x'=y-y'=z-z'=0即x=x'、y=y'、z=z'

    故实数x,y,z是唯一的。

    (2)若x+y+z=1, 则PABC四点共面:

    假设OP=xOA+yOB+zOC且x+y+z=1 ,且PABC不共面

    那么z=1-x-y ,则OP=xOA+yOB+(1-x-y)OC

    =xOA-xOC+yOB-yOC+OC

    =OC+xCA+yCB (CP=xCA+yCB)

    点P位于平面ABC内,与假设中的条件矛盾,故原命题成立。

    推论2

    空间任一点P位于平面MAB内的充要条件是:存在有序实数对{,x.y},使MP=xMA+yMB或对空间任一定点O,有OP=OM+xMA+yMB

    2023-10-24 02:01:23
  • 共面向量定理:

    如果两个向量a,b不共线,则向量c与向量a,b共面的充要条件是:存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by

    2023-10-24 02:01:23
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