什么是圆周角

圆周角(angle of circumference)是指顶点在圆上，且两边和圆相交的角。在同圆或等圆中，两圆周角相等，则其所对的弦(或弧)也相等；反之，等弧所对的圆周角相等。而等弦所对圆周角相等或相补，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。

对于一个圆周角，角的内部必然夹了一段圆弧，通常把圆周角说成是这一弧上的圆周角，或说这一弧所对的圆周角。另外，角的外部也有一段圆弧，我们还把圆周角说成是这一弧所含的圆周角。

圆周角最初叫詹妮特角（Jeanit），因为它的顶点在圆周上，于是就将其更名为圆周角。

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，这一定义实质上反映的是圆周角所具备的两个特征：

①顶点在圆上，②两边都和圆相交。这两个条件缺一不可。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．联系圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．对于在推理论证及相关计算中有着广泛的用途．

推论2，半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。这两个推论是判定直角或直角三角形的又一依据，为在圆中确定直角，构造垂直关系，创造了条件，因此它是圆中一个很重要的性质。

命题证明

命题1: 在圆中作弦MN，于直线MN同侧取点A、B、C，使点A、B、C分别在圆内、上、外，将点A、B、C分别与点M、N连结，则有∠A>∠B>∠C。

命题2: 顶点在圆外的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数差的一半；顶点在圆内的角（两边与圆相交）的度数等于其及其对顶角所截弧度数和的一半。

则有∠P=∠DCE，弧AC=弧BE（圆中两平行弦所夹弧相等）

而∠DCE的度数等于弧DE的一半，弧DE=弧BD－弧BE=弧BD－弧AC

所以∠DCE的度数等于“弧BD－弧AC”的一半

即“顶点在圆外的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数差的一半”

另外也可以连接BC，则∠P=∠BCD－∠B

∠BCD的度数等于弧BD的度数的一半

∠B的度数等于弧AC的度数的一半

同样得“顶点在圆外的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数差的一半”

圆内角的证明完全类似：

过C作CE//AB，交圆于E，

则有∠APC=∠C，弧AC=弧BE（圆中两平行弦所夹弧相等）

而∠C的度数等于弧DE的一半，

弧DE=弧BD+弧BE=弧BD+弧AC

所以∠APC的度数等于“弧BD+弧AC”的一半

即“顶点在圆内的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数和的一半”

圆周角是以圆周上的一点为顶点，两条边都与圆周相交的角。

所谓的圆心角就是角的顶点在圆心上两边和圆相交所成的锐角叫做圆心角，其性质就是圆心角的度数等于圆的所对应的圆弧的度数。

圆周角(angle of circumference)是指顶点在圆上,且两边和圆相交的角。

圆周角的口可以不对准圆心，只要是弧上任意两点做线段，与圆周所形成的夹角就是圆周角。

圆周角是指以圆周上一点为顶点，两条半径为边的角。在圆周角中，两条边的长度相等，因此圆周角的大小等于它所对弧所对的圆心角的一半。

圆周角是几何学中的基本概念之一，它在圆的性质和计算中都有重要的应用。例如，在圆的周长、面积、弧长等计算中，圆周角都起着重要的作用。同时，圆周角也是三角函数中的一个重要概念，它可以用来计算圆上任意一点的坐标和角度。

圆周角指的是一个圆弧所对应的角度，它的度数等于这个圆弧所对应的圆周长度与整个圆周长度的比例乘以360度。

例如，一个圆的周长为2πr，一段圆弧的长度为l，则该圆弧所对应的圆周角的度数为l/2πr × 360度。