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全部3个回答 >著名的连续统假设指的是什么呢
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连续统是实数集的抽象。连续统描述了像实数一样的稠密，完备（无洞）的性质。
实数集只是一个连续统的例子。当然，实数集也可以说是原型，因为连续统是从实数集推广出去的。
在某些场合，连续统也可能被用来代指实数集。（可能为了强调其完备性吧）
注意不要跟“连续统的势（基数）”混淆。（即直观地看，所谓集合的大小，或者个数）
而且具有连续统基数的集合，未必是连续统。比如无理数与实数等势，具有连续统基数，但是无理数集可不具有像实数那样的完备性。
题外：连续统假设
可列集的势为。（自然数的个数，整数的个数，平面格点的个数……）
连续统的势为，而且。（想象任何一个实数可以用无限二进制表示嘛。当然，严格的话，实数的二进制表示不唯一，。于是还得构造康托三分集，证明。然后由康托尔－伯恩斯坦－施罗德定理，得到等势）
康托对角论证可知， 。（实数是不可数的）
但是不是大于的最小的基数呢？即它们之间不存在其它基数？
这个问题的答案未知。连续统假设即（后的第一个基数）。
从ZFC公理出发，它不可证明，亦不可证伪。
连续统是一种集合。
(1)是全序集。在 上定义了全序关系（也称线性序、简单序等），即
（反对称性）
（传递性）
（完全性）
定义了，其余的可以导出。
（2）稠密性。的任何两个元素之间，必存在其它元素。即
比如有理数就满足稠密性，因为任何两个数，其中间有个平均数。
（3）完备性（直观地讲，无洞）。（最小上界公理，或上确界原理）任何一个的非空子集，若有上界，则必有上确界。即
这个原理是硬性地规定了上确界不能掉进洞里，即上确界一定存在。（公理，不需要没有理由）
此外，最小上界公理有很多等价的论述。比如单调有界原理，也是不让极限掉进洞里。
2023-10-24 02:52:49
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