数学归纳法的原理分析

简介

数学归纳法是一种重要的论证方法。它们通常所说的“数学归纳法”大多是指它的第一种形式而言，本文想从最小数原理出发，对它的第二种形式即第二数学归纳法进行粗略的探讨，旨在加深对数学归纳法的认识。

原理

第二数学归纳法

第二 数学归纳法原理是设有一个与正整数n有关的命题，如果：

（1）当n=1时，命题成立；

（2）假设当n≤k（k∈N）时，命题成立，由此可推得当n=k+1时，命题也成立。

那么根据①②可得，命题对于一切正整数n来说都成立。

证明

用反证法证明。

假设命题不是对一切自然数都成立。命N表示使命题不成立的自然数所成的集合，显然N非空，于是，由最小数原理N中必有最小数m，那么m≠1，否则将与（1）矛盾。所以m－1是一个自然数。但m是N中的最小数，所以m－1能使命题成立。这就是说，命题对于一切≤m－1自然数都成立，根据（2）可知，m也能使命题成立，这与m是使命题不成立的 自然数集N中的最小数矛盾。因此定理获证。

当然，定理2中的（1），也可以换成n等于某一整数k。

对于证明过程的第一个步骤即n=1（或某个整数a）的情形无需多说，只需要用n=1（或某个整数a）直接验证一下，即可断定欲证之命题的真伪。所以关键在于第二个步骤，即由n≤k到n=k+1的验证过程。事实上，我们不难从例1的第二个步骤的论证过程中发现，证明 等式在n=k+1时成立是利用了假设条件；等式在n=k及n=k－1时均需成立。同样地，例2也不例外，只是形式的把n=k及n=k－1分别代换成了n=k－1和n=k－2。然而例3就不同了，第二个步骤的论证过程，是把论证命题在n=k+1时的成立问题转化为验证命题在n=k－2+1时的成立问题。换言之，使命题在n=k+1成立的 必要条件是命题在n=k－2+1时成立，根据1的 取值范围，而命题在n=k－k+1互时成立的实质是命题对一切≤k的自然数n来说都成立。这个条件不是别的，正是第二个步骤中的归纳假设。以上分析表明，假如论证命在n=k+1时的真伪时，必须以n取不大于k的两个或两个以上乃至全部的自然数时命题的真伪为其论证的依据，则一般选用第二 数学归纳法进行论证。之所以这样，其根本原则在于第二数学归纳法的归纳假设的要求较之 第一数学归纳法更强，不仅要求命题在n=k时成立，而且还要求命题对于一切小于k的自然数来说都成立，反过来，能用第一数学归纳法来论证的数学命题，一定也能用第二数学归纳进行证明，这一点是不难理解的。不过一般说来，没有任何必要这样做。

第二数学归纳法和第一数学归纳法一样，也是数学归纳法的一种表达形式，而且可以证明第二数学归纳法和第一数学归纳法是等价的，之所以采用不同的表达形式，旨在更便于我们应用。

数学归纳法是从特殊到一般的归纳分析

递推的基础：证明当n=1时表达式成立。 递推的依据：证明如果当n=m时成立，那么当n=m+1时同样成立。 这种方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。 或许想成多米诺效应更容易理解一些，如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么如果你可以确定： 第一张骨牌将要倒下，只要某一个骨牌倒了，与之相邻的下一个骨牌也要倒，那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒。 这样就确定出一种递推关系，只要满足两个条件就会导致所有骨牌全都倒下：

（1）第一块骨牌倒下； （2）任意两块相邻骨牌，只要前一块倒下，后一块必定倒下。 这样，无论有多少骨牌，只要保证（1）（2）成立，就会全都倒下。

原理

最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步：

证明当n= 1时命题成立。

假设n=m时命题成立，那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。（m代表任意自然数）

这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法想成多米诺效应也许更容易理解一些。例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你可以：

证明第一张骨牌会倒。

证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。

那么便可以下结论：所有的骨牌都会倒下。