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全部3个回答 >无理数加无理数一定是有理数吗
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如果题主问的是如何判断任意无理数的无理数次方是否为有理数或是无理数？那么这个问题是非常困难的，尤其是当这些无理数是超越数的时候，现在依然没有一般性的判断方法(实际上我们能确定的得还非常少)。与此相关的有两个比较重要的定理，我简单介绍一下。
1、格尔丰德-施耐德定理：如果和是代数数，其中且，不是有理数，那么的值一定是超越数。根据该定理立刻可以知道： 为超越数，亦为超越数。这个定理回答了著名的希尔伯特第七问题，以上几个数也是希尔伯特第七问题里提及的几个数。
这里要特别的提醒的是无理数的无理数次方未必是无理数
，比如上面提到的，它的次方为：。2、林德曼-魏尔斯特拉斯定理：如果是代数数，在有理数内线性独立的，那么在有理数内是线性独立的。或者简单的说如果是不同的代数数，那么在代数数范围内是线性独立的。这个定理的直接推论是：和是超越数(证明略，以后有空再补充)。补充：
1、证明为超越数：取那么，即在代数数范围内是线性独立的，故为超越数。同理，我们可知，当为代数数时，均为超越数。
2、证明为超越数：反证，设为代数数，那么亦为代数数，根据上一个证明的结论，那么为超越数，这与相矛盾，故为超越数。（这个例子也说明一个超越数的超越数次方未必就是超越数，它完全可以是有理数。）
但是更多的，例如
尚未证明是有理数、代数无理数或是超越数。
如果题主感兴趣可以学习一下关于数的无理性，无理测度，超越性方面的更多知识，但个人认为这是一个非常艰深的领域，我们知道的还太少。
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补充：评论里有人问是有理数么，现在我们确实还不知道，但是我们可以证明和中至少有一个是无理数，证明很简单:
构造方程,显然这个方程的两个根为：,这个方程即为：。若和均为有理数，那么该二次方程为有理数系数方程，其根必然为代数数，这与和 为超越数相矛盾，故和中至少有一个是无理数。
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没有想到这个回答居然有不少人在看，那我再补充一些内容。
先介绍格尔丰德-施耐德定理的等价表示：如果和是代数数，其中且 ，那么要么是有理数要么是超越数。现在我们来证明为超越数。还是反证法，设 为整数，那么,因为与互素，且为整数，易知上式等号不能成立，故不为有理数，故为超越数。
所以一个有理数的无理数次方未必为无理数，比如：
。
所以在应用格尔丰德-施耐德定理时一定要注意，要保证 是超越数（是代数数，且 且 ），只能是代数无理数，若为超越数，则不一定是超越数，它完全可以是有理数。 2023-10-23 12:44:46 -
不一定。两个无理数的和可以是有理数也可能是无理数。比如：（3+根号2）与（3-根号2）是两个无理数，但它们的和是6，是有理数。而：根号2与（3+根号2）都是无理数，它们的和是（3+2根号2），还是无理数。
2023-10-23 12:44:46
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