4次对称群的元素的阶数怎么求

1四阶对称群S4有24个元素：

a = SymmetricGroup;

GroupOrder[a];

b = GroupElements[a]

其中的单位元是Cycles[{}]，表示不变。

2对于S4里面的元素x，代表了一种轮换。

比如：

Permute[{p, q, r, s}, Cycles[{{3, 4}}]]

把{p, q, r, s}的第三个元素和第四个元素轮换一下。

3Permute[{p, q, r, s}, Cycles[{{2, 3, 4}}]]

第四个元素跑到第二个位置上，第二个和第三个向右移动一个位置。

4设x和y是S4的两个元素，那么xy表示先执行y，再执行x。

PermutationProduct[y,x]表示xy。

比如：

PermutationProduct[Cycles[{{2, 3, 4}}], Cycles[{{1, 2}}]]

Permute[{p, q, r, s}, %]

结果和下面的一样：

Permute[{p, q, r, s}, Cycles[{{2, 3, 4}}]];

Permute[%, Cycles[{{1, 2}}]]

5产生S4的乘法表：

TableForm[GroupMultiplicationTable[a], TableHeadings -> Automatic]

6查看S4里面，所有的二阶元素：

c=If[# != Cycles[{}] && PermutationProduct[#, #] == Cycles[{}], #,

0] & /@ b // Union // Drop[#, 1] &

一共有9个。

7c加上单位元，能构成一个S4的子群吗？

看看它的乘法表：

c = If[PermutationProduct[#, #] == Cycles[{}], #, 0] & /@ b // Union //

Drop[#, 1] &

TableForm[Table[PermutationProduct[m, n][], {m, c}, {n, c}],

TableSpacing -> {5, 2}]

如果a的k次方就是a△a△a△a△a△a△a(k个)，△是群定义的运算，如果是加法，就是k连加

对称群是由一个具有n个元素的集合的全排列构成的群。对称群有一个特殊的记号，即Sn，表示含有n个元素的对称群。

对称群Sn中的每个排列都可以看作是将n个元素重新排列的方式。每个排列都可以通过若干个循环来表示，循环的长度称为该排列的阶数。

由于对称群是由一组全排列构成的，因此对称群Sn的阶数为n!，即n的阶乘。

例如，对称群S4的阶数为4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24。这意味着S4中的每个排列都可以表示为若干个长度为1至4的循环。

希望这能回答您的问题！如果您还有任何疑问，请随时提问。

对称群的元素的阶数可以通过计算元素的置换周期（cycle）长度来确定。

对于4次对称群，它包含了4个元素：恒等变换、顺时针旋转90度、180度和270度。我们可以计算每个元素的置换周期来确定它们的阶数。

1. 恒等变换的置换周期为1，因此它的阶数为1。

2. 顺时针旋转90度的置换周期为4，因此它的阶数为4。

3. 顺时针旋转180度的置换周期为2，因此它的阶数为2。

4. 顺时针旋转270度的置换周期为4，因此它的阶数为4。

因此，4次对称群的元素的阶数分别为1、4、2和4。