单值函数与多值函数的区别

单值函数

由变量z的每个值只得到一个确定的函数值。有理函数都是单值函数。因为加减乘除，乘方这些运算只会有一个结果。

使用P,Q,R,S,T表示单值函数。

多值函数

由变量z的每个值可以得到多于一个确定的函数值。

无理函数都是多值函数，由代数基本定理，二次根号会给出两个值，n次根号会给出n个值。

超越函数可以是单值函数，比如正弦函数sin(x)，可以是多值函数，比如反正弦函数，arcsin(z)，不限制取值范围，就有无数个函数值。

多值函数的解释

就像圆柱螺旋线一样，设定义域为实直线，将这条直线在单位圆上盘起来，绕成一圈一圈的

此时，由直线到曲线还是单值映射，也就是单值函数。

将这个曲线压扁，就变成了单位圆，此时，单位圆上每个点就对应了实直线上的无数个点。变成了多值函数。

这个函数与之前的函数相比就丢失了很多信息。之前的函数可以直接得到绕了几圈，正绕，反绕这样的信息，压扁之后这些信息就丢失了。所以多值函数可以看做丢失了部分信息的单值函数。

1. 在于函数的输出值的个数。

2. 单值函数是指每个输入值对应唯一的输出值，即每个输入只有一个输出。而多值函数是指每个输入值可以对应多个输出值，即每个输入可以有多个输出。

3. 单值函数的定义域和值域都是实数集合，而多值函数的定义域和值域可以是实数集合或者复数集合。多值函数通常在复平面上表示，其中每个输入对应的输出是复数的多个解。单值函数在数学和科学领域中应用广泛，例如线性函数、指数函数和三角函数等。而多值函数在复数分析、代数和几何等领域中有重要的应用，例如多值解方程和多值函数的解析性质研究。

单值函数是指一个自变量对应一个因变量，如y=x；多值函数是函数的扩充，一个自变量对应多个因变量，如｜y|=x。简单来说，单值函数只有一个输出，而多值函数有多个输出。

以下是一些单值函数和多值函数的例子：

单值函数：

1. y=x（y是x的函数）

2. y=sin(x)（y是x的正弦函数）

3. y=log2(x)（y是x的对数函数）

4. y=e^x（y是x的指数函数）

5. y=x^2+1（y是x的平方加1的函数）

多值函数：

1. |y|=x（y的绝对值等于x）

2. |y|=sin(x)（y的绝对值等于sin(x)）

3. |y|=log2(x)（y的绝对值等于log2(x)）

4. |y|=e^x（y的绝对值等于e^x）

5. |y|=x^2+1（y的绝对值等于x^2+1）

单值函数和多值函数是数学中常见的两种函数类型。单值函数是指对于函数的每个输入，都有唯一的输出值。换句话说，对于函数的每个自变量值，函数只能给出一个对应的因变量值。而多值函数则是指对于函数的某些输入，可能存在多个输出值。

换句话说，对于函数的某些自变量值，函数可以给出多个对应的因变量值。这是两种不同的函数特性，对于数学建模和问题求解有着不同的应用和意义。

单值函数和多值函数是在数学中经常使用的概念，它们之间有以下区别：

1. 定义域和值域：单值函数的定义域中每个自变量对应唯一的函数值，即一个自变量只对应一个因变量。而多值函数的定义域中可以存在自变量对应多个不同的函数值，即一个自变量可以对应多个因变量。

2. 反函数的存在：对于一个单值函数，存在唯一的反函数，即使反函数是一个函数。而对于一个多值函数，反函数并不一定存在，或者说反函数可能不是一个函数，因为多值函数中一个自变量可以对应多个不同的因变量。

3. 可逆性：单值函数在其定义域范围内是可逆的，即可以通过反函数将因变量映射回自变量。多值函数因为存在多个函数值对应一个自变量而不是可逆的。

4. 图像：单值函数在坐标系中的图像是一条曲线或曲面，在平面直角坐标系中，单值函数的图像不会出现两个不同的纵坐标对应一个相同的横坐标。多值函数在坐标系中的图像是一组离散点或一条曲线，在平面直角坐标系中，多值函数的图像可能出现两个不同的纵坐标对应一个相同的横坐标。

综上所述，单值函数与多值函数在定义域、值域、反函数的存在与性质、可逆性以及图像表现等方面存在明显的区别。