对称点定理

点关于直线

点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.

点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：

①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.

直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.

例 求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程.

分析 本题可以利用两直线平行，以及点P到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.

解法一 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得，

即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.

解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A（-8，0），则点A（-8，0）关于P（0，1）的对称点的B（8，2）.

将B（8，2）代入，解得c=-38.

点评 解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程. 本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.

直线关于直线对称问题，包含有两种情形：

①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.

例 求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程.

分析 由题意，所给的两直线l1，l2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.

解 根据分析，可设直线l的方程为x-y+c=0，在直线l1：x-y-1=0上取点M（1，0），则易求得M关于直线l2：x-y+1=0的对称点N（-1，2），

将N的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，

故所求直线l的方程为x-y+3=0.

点评 将对称问题进行转化，是我们求解这类问题的一种必不可少的思路. 另外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l的形式，然后再在直线l2上的任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.

画法

点关于点对称点画法连接两点AB并延长至另外一点A‘使得A'B=AB即可点关于直线对称点画法过点作直线的垂线并延长至A'，使它们到直线的距离相等即可直线关于点对称直线画法同样过点作直线垂线，然后再点的另外一旁截取相等距离的点，过这点作直线的平行直线即可直线关于直线对称直线画法在直线上取2点关于直线对称，用点关于直线对称的画法，然后连接两点即可。

对于连续，每一点均可导的函数p(x)，则存在等价关系

p(xo+x)=p(xo-x)<=>p'(xo+x)+p'(xo-x)=0

p(xo+x)+p(xo-x)=c <=> p'(xo+x)=p'(xo-x)

叙述成文字为：一个连续每一点均可导的函数p(x)，若p(x)关于x=xo对称，则它的导数必然关于(xo,o)中心对称，同时满足后者亦可推到前者

若p(x)关于(xo,c/2)中心对称，则它的导数必然关于x=xo对称，同样由后者可以推到前者