菲涅尔衍射积分公式

是描述光经过一个狭缝或孔径后的衍射现象的数学表达式，由物理学家欧仁·菲涅尔提出。衍射现象是光通过一个障碍物或光学元件，如狭缝、透镜、棱镜等时，光的传播方向和强度出现偏离原来直线传播的现象。

假设光源位于坐标系的原点，障碍物或孔径位于z=0平面上。设障碍物上任意一点P的坐标为(x, y, 0)，并沿x轴方向传播的平行光束入射在此点上。光波从点P开始向各个方向传播，传播距离为z。

菲涅尔衍射积分公式描述了障碍物上的每一点P对检测平面上观测点O处光强度的贡献。其数学表达式为：

U(P) = (1 / (iλz)) * ∫∫ E(x', y', 0) * e^(i(kr)/(2z)) * e^(iφ) dx' dy'

其中，U(P)表示观测点O处的光强度，E(x', y', 0)表示障碍物上一点P的入射场强，λ表示光波的波长，z表示观测点O离障碍物的距离，k = 2π/λ表示波数，r表示点P到观测点O的距离。

公式中的e^(iφ)表示相位调制因子，其中φ表示点P与观测点O之间的相位差。

要计算具体的衍射效应和观测点O处的光强度，需要对整个障碍物上的所有点进行积分，并考虑相位差的影响。这样就能得到菲涅尔衍射积分公式的具体数值结果。

在光学里，菲涅耳衍射（Fresnel diffraction）指的是光波在近场区域的衍射。菲涅耳衍射积分式可以用来计算光波在近场区域的传播，因法国物理学者奥古斯丁·菲涅耳而命名，是基尔霍夫衍射公式的近似。

从每一个光学系统特征的菲涅耳数，可以辨别光波传播的区域是近场还是远场。设想光波入射于任意孔径，对于这光学系统，菲涅耳数定义为

其中，

是孔径的尺寸，

是孔径与观察屏之间的距离，

是入射波的波长。

积分公式描述了在一个菲涅尔衍射中，通过一个小孔所看到的光的强度分布情况。它是通过对一个菲涅尔衍射的积分来推导出来的。

具体而言，设一个菲涅尔衍射的光强分布可以表示为：

$$I(mathbf{r},mathbf{r}',z)=int_{mathbf{r}'=r_0}^{infty}int_{z=-h}^{h}I(mathbf{r}',mathbf{r},z')dz'dz'$$

其中，$mathbf{r}$和$mathbf{r}'$是空间中的两个点，$z$和$z'$是它们在空间中的位置。积分区域为$int_{mathbf{r}'=r_0}^{infty}int_{z=-h}^{h}$。

根据菲涅尔衍射的性质，可以将积分区域划分为若干个小区域，每个小区域内的光强分布可以近似为一个点光源的光强分布。然后对每个小区域内的光强分布进行积分，得到该小区域内的光强总和。最后，将所有小区域内的光强总和加起来，即为整个菲涅尔衍射的光强分布。

因此，菲涅尔衍射积分公式可以表示为：

$$I(mathbf{r},mathbf{r}',z)=frac{1}{2}left[I(mathbf{r}',mathbf{r},z)-I(mathbf{r}',mathbf{r},z-Delta z)

ight]$$

其中，$Delta z$是小孔与小区域中心的距离。

[ U(P) = frac{e^{ikr}}{ilambda r} iint_{

ext{aperture}} U(xi, eta) e^{-i frac{k}{2r} (xi^2 + eta^2)} e^{i frac{k}{r} (xi x + eta y)} dxi deta ]

在这个公式中：

- (U(P)) 代表观察点 (P) 处的电场复振幅。

- (k) 是波数，(k = frac{2pi}{lambda})，其中 (lambda) 是波长。

- (r) 是观察点到衍射孔径或物体边缘的距离。

- ((x, y)) 是观察点的坐标。

- ((xi, eta)) 是孔径或物体表面上的坐标。

- (

ext{aperture}) 表示孔径或物体表面的区域。

这个公式描述了在菲涅尔衍射条件下，从孔径或物体表面的各个点出射的波前会在观察点处相干叠加，从而形成衍射图样。这个公式中的积分项表示了在孔径上的各个点上的相位差对观察点处的场强的贡献。

需要注意的是，菲涅尔衍射公式涉及复杂的数学运算和积分，通常需要使用数值方法或近似方法来求解。这个公式在光学、波动物理学等领域用于研究光的衍射现象。