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狄利克雷函数为什么不可积

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  • 比如说,我们研究该函数在

    区间上的可积性。回顾定积分(注意,这是黎曼积分)定义

    因为

    是在分割后的诸区间上任取的,若总取为其中的有理数,这样和式为

    若总取其中的无理数,这样和式为

    于是显见该极限不存在,故函数不可积。

    事实上,只需注意到函数在任意区间上振幅都为

    即可断言函数在任意区间上都不可积。

    2023-10-23 13:26:03
  • 在黎曼积分的定义下不可积,因为对自变量区间任意划分内函数值总是可以取到0或者1这样累加起来的微小矩形的面积无法收敛到固定值。但是这个函数在勒贝格积分的意义下是可积的。

    2023-10-23 13:26:03
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