积分中值定理三种形式

微分中值定理：

罗尔定理([a,b]连续，(a,b)可导,f(a)=f(b) ,则f(x)在(a,b)中有一点的导数为0)

拉格朗日中值定理([a,b]连续，(a,b)可导,则f(x)在(a,b)中有一点的导数等于点A(a,f(a))和点B(b,f(b))的连线的斜率)

柯西中值定理 （把拉格朗日中值定理用参数方程的形式表达）

积分中值定理：

第一积分中值定理：

按几何意义来考虑：f(x)的积分为曲线与x=a,x=b,x轴围城的图形的面积。而等式右侧显然也是另外一种表达方式。

第二积分中值定理：

按第一部分来看因为g(x)>=0 且单调减，所以g(a）> g(b).若在被积函数中提出一个g(a)得到的值必定大于原积分，所以要相等必须缩减积分限。

推论：

证明:

只需要证明g为单调递减函数即可，单调递增时同理

令 h(x)=g(x) - g(b)

h(x)也单调递减，可直接用定理得到h(x)f(x)为被积函数的一个等式，再把h(x)由g(x)-g(b)代入就可证明。

第一中值及其推广形式，以及第二中值定理。其中第一中值定理的描述是说中值点在闭区间取，同时注明开区间内也一定存在中值点。证明过程看你用什么工具，证明闭区间结论的一定是牵扯到函数的连续性，开区间的一定是出现在微分中值定理。

1、拉格朗日中值定理

中值定理是微积分学中的基本定理，由四部分组成。内容是说一段连续光滑曲线中必然有一点，它的斜率与整段曲线平均斜率相同。中值定理又称为微分学基本定理，拉格朗日定理，拉格朗日中值定理，以及有限改变量定理等。

2、柯西中值定理

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。其几何意义为，用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。该定理可以视作在参数方程下拉格朗日中值定理的表达形式。

3、积分中值定理

积分中值定理，是一种数学定律。分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。其中，积分第二中值定理还包含三个常用的推论。这个定理的几何意义为:若f(x)≥0，x∈[a,b]，则由x轴、x=a、x=b及曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积等于一个长为b-a，宽为f(ξ)的矩形的面积。

微分中值定理：

罗尔定理([a,b]连续，(a,b)可导,f(a)=f(b) ,则f(x)在(a,b)中有一点的导数为0)

拉格朗日中值定理([a,b]连续，(a,b)可导,则f(x)在(a,b)中有一点的导数等于点A(a,f(a))和点B(b,f(b))的连线的斜率)

柯西中值定理 （把拉格朗日中值定理用参数方程的形式表达）

积分中值定理：

第一积分中值定理：

按几何意义来考虑：f(x)的积分为曲线与x=a,x=b,x轴围城的图形的面积。而等式右侧显然也是另外一种表达方式。

第二积分中值定理：

按第一部分来看因为g(x)>=0 且单调减，所以g(a）> g(b).若在被积函数中提出一个g(a)得到的值必定大于原积分，所以要相等必须缩减积分限。

推论：

证明:

只需要证明g为单调递减函数即可，单调递增时同理

令 h(x)=g(x) - g(b)

h(x)也单调递减，可直接用定理得到h(x)f(x)为被积函数的一个等式，再把h(x)由g(x)-g(b)代入就可证明。