gmres算法介绍

视图求解线性方程组A*x=b的解x。nXn的稀疏矩阵A必须是方程且应是大型稀疏矩阵。列向量b的长度必须为n。参数A可以是一个函数afun以使得afun(x)返回A*x，对于这一语法格式，gmres并不重新启动，迭代的最大次数为min(n,10)。

如果gmres收敛，则显示这一结果的信息。如果gmres在最大迭代步后没有收敛或者由于某种原因而停止，则打印警告信息，显示相对残差范数norm(b-A*x)orm(b)并且显示该方法停止或者失效时的迭代步数。

Gmres(A,b,restart)

在每一次重新开始内部迭代时才重新开始方法。外部迭代的最大数目为min(nestart,10),总迭代的最大步数为restart*min(nestart,10).如果restart为n或者[]，则gmres并不重新开始，则总迭代的最大数目为min(n，10)

Gmres(A,b,restart,tol)

指定方法的误差。如果tol为[]，则函数gmres将使用默认值1e-6.

Gmres(A,b,restart,tol,maxit)

指定外部迭代的最大次数，也就是说，迭代的总次数不超过restart*matrix。如果参数maxit为[]，则矩阵gmres使用默认值min(nestart,10);如果参数restart为n或者[],则总迭代的最大次数为maxit（而非restart*matxit）。

Gmres(A,b,restart,tol,maxit,M)和 Gmres(A,b,restart,tol,maxit,M1,M2)

使用预处理矩阵M或者M=M1*M2有效地求解方程组inv(M)*A*x=inv(M)*b.如果M为[],则函数gmres不适应预处理矩阵，M可以是一个函数，它返回Mx

Gmres(A,b,restart,tol,maxit,M1,M2,x0)

指定初始的猜测值。如果x0为[]，则函数gmres将使用默认值，一个全为零的向量。

Gmres(afun,b,restart,tol,maxit,m1fun,m2fun,x0,p1,p2,…)

将参数传递到函数afun(x,p1,p2,…),m1fun(x,p1,p2,…)和m2fun(x,p1,p2,…)中。

[x,flag]=gmres(A,b,…)

返回一个收敛标志符：

Flag=0

函数gmres在maxit外部迭代步数之内收敛到期望的误差

Flag=1

函数gmres迭代maxit次但没有收敛

Flag=2

预处理矩阵M为病态条件阵

Flag=3

函数gmres停滞（两个连续迭代步的结果相同）

当flag的值不为0时，返回的解x是在所有迭代过程中得到的具有最小范数残差的结果。如果指定输出flag，则不显示任何消息。

[x,flag,relres]=gmres(A,b,…)

返回相当残差范数norm(b-A*x)orm(b),如果flag的值为0，则relres<=tol,

[x,flag,relres,iter]=gmres(A,b,…)

返回计算x时外部和内部迭代次数，其中0<=iter(1)<=maxit且0<=iter(2)<=restart.

[x,flag,relres,iter,resvec]=gmres(A,b,…)

返回每一个内部迭代时的残差范数向量，包含norm(b-A*x0).

GMRES（Generalized Minimal RESidual）是一种迭代解线性方程组的方法。它通过在Krylov子空间中搜索最小残差来逼近线性方程组的解。GMRES算法在每个迭代步骤中，通过正交化过程来构建一个基于Krylov子空间的正交向量组，并使用最小二乘法来求解这个子空间中的线性方程组。该过程重复迭代，直到满足收敛条件。

GMRES算法适用于大规模稀疏线性方程组的求解，相比于直接方法（如高斯消元法），它具有更好的存储和计算效率。然而，GMRES算法的主要缺点是每个迭代步骤需要解决一个较小规模的最小二乘问题，这会带来一定的计算开销。为了解决这个问题，可以使用预处理技术来提高GMRES算法的收敛速度和效率。