黎曼猜想素数通项公式

素数的分布是有规律的，这个规律就是黎曼猜想。

黎曼认为：素数的分布和公式1（黎曼函数）的零点有关，解的实部都在x = 1/2的直线上。

公式1的每一项都 > 0，显然它的解只能是复数解x + yi，不能是实数解。

1859年前，黎曼提出：这些与素数的分布相关的解，都在x = 1/2上。

公式1在高数上叫做调和级数，当s > 1时它是收敛的。

在我的上一篇文章里，曾经用概率论把它凑出来过，这里简单重复一下这个过程：

1，从大于1的整数里对2的倍数进行采样，一个数被取到的概率是1/2。

2，然后在剩下的数里对3的倍数进行采样，一个数被取到的概率是1/3。

3，然后依次对5、7、11、...... 的倍数进行采样，概率依次是1/5，1/7，1/11，......

4，依次对素数的倍数进行采样，可以取遍从2开始的所有整数，总概率是1。

5，在素数的公倍数（6、30、210，...）上虽然会有重复采样，但是这个重复概率随着个数的增长快速地下降，可以推测这个级数是收敛的：

6，但是素数之间的步长不是1，下一个位置不好确定，把步长改成1之后就变成了：

公式3显然不收敛，高数上有证明。

如果像物理一样用实验证明的话，我们可以做一个思想实验

2、4、8的倍数是幂级数（3、9、27的倍数也一样），它们与6、30、210这种素数的公倍数不一样，后者显然下降得更快。

为了平衡这一点，给每一项加一个指数s：

当s > 1时，1/2、1/4、1/8之间的差距会被指数s放大，从而抑制4、8的倍数在级数里的作用，让级数变得收敛。

这样，我们就用工程师的思路，凑出了如下的公式4：

它与黎曼函数只差第1项的值1。

对第一项的实验解释是对所有整数采样，其他各项的解释是对2, 3, 5, ...的倍数依次采样。

指数s的抑制作用，很容易估算出来。

对于2、4、8的倍数来说，不重复的情况下采样概率是1/2，即：

这是一个等比数列，它的和是：

可以得出s = ln3/ln2（大约1.5849）时，就能抑制2的高次幂的干扰。

也可以求出3、5、7的倍数对应的s来：s = ln(p+1)/lnp，p是对应的素数。

s的值与素数的值n

黎曼之所以要把它搞成复变函数的零点问题，恐怕是因为多项式在实数域里没法解，而在复数域里都是可解的。

如果继续在实数域里折腾，除了画出一个关于s的级数的近似图像之外，就没办法研究下去了。

这个级数既然能把素数的分布规律映射到实数域，那么按照对称性来说，也能把它映射到复数域。

映射到复数域里之后，素数序列对整数采样概率的总和就是-1，其他所有项与第1项的总和就是0了：正好可以通过复变函数的零点问题来解决。

例如，2对应的采样概率是1/2，那么总可以选一个合适的复数指数让它变成-1/2，这个在复数域里是可以做到的。

前面我们计算了，s = ln(p+1) / lnp 时就可以抑制素数p的高次幂的影响。

可以推测，存在一个最佳的s值，可以平衡所有素数的影响：既不会让更大的素数丢失信息，也不会让它们的影响过大。

可以推测，跟素数的分布规律有关的s值，也是类似e这样的一个超越数。

它应该像e一样包含了很多的信息。

e包含的是整数的阶乘信息，用它正好可以简化导数运算，因为幂函数连续求导的系数正好是阶乘。

科普到这里，黎曼猜想有待数学大牛们的进一步研究。

我之所以更喜欢物理，就是物理可以各种近似和凑数，而数学不能

实验证明，在物理上就可以当作真相，但在数学上什么用也没有。

一、素数的通项公式

1. 数学家们一直有一个朴素的追求，就是找到素数的通项公式；

2. 利用通过公式可以构造出所有的素数。例如，偶数的通项公式是2n，只要代入自然数n，这个公式就可以自动给出所有的偶数

3. 历史各种寻找素数通项公式的尝试，最终都失败了

二、黎曼猜想

4. 数学家黎曼给出了一个折中的办法：如果无法精确地给出素数的通项公式，能不能求出一定范围内素数的个数？只要我们知道一定范围内素数的个数，用计算机寻找素数的速度就会快很多；

5. 黎曼甚至给出了求解素数个数的公式，但是求解的过程中有一个重要的结论需要证明，这就是黎曼猜想。如果这个猜想是正确的话，那么质数个数的公式就是正确的；

6. 黎曼猜想是说有一种函数叫Zeta函数，这个函数等于0时有很多解，包括所谓的平凡解和非平凡解。黎曼猜想就是猜测Zeta函数得所有非平凡解的实数部分都等于1/2；

| Zeta函数