什么是标准矩阵

标准形矩阵：每个非零行的第一个非零元素为1，每个非零行的第一个非零元素所在列的其他元素全为零，则是最简形矩阵。如果一个矩阵的左上角为单位矩阵，其他位置的元素都为零。

在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。

要知道标准型是什么，那你就要知道等价关系是什么。

等价关系就是满足自反性，对称性和传递性的二元关系。对于特定的矩阵集，有很多等价关系，比如相抵、相似、正交相似、合同等。

利用等价关系我们可以把一个矩阵集里的矩阵分类，具体做法就是对矩阵集里的每一个元素，把和它等价的每一个元素放到一个等价类里。等价关系三个性质保证了一个等价类里的元素都等价，不同等价类的元素都不等价，一个元素不会出现在两个等价类里。

有些性质是在等价关系里不变的。比如特征值就是相似关系下不变的。那么，对一个等价类，我们只要研究透其中一个元素在等价关系下不变的性质，这个性质就可以推广到整个等价类。所以我们需要等价类下具有特殊意义的代表元。所谓矩阵标准型，我自己总结来说就是具能在每个等价类里能用统一选取方式选取的形式简单的矩阵，且这样的选取有一定的唯一性（比如不计顺序下唯一）。像Jordan标准型就是复矩阵在相似关系下的标准型，因为它形式简单，而且每个相似关系下的等价类里都可以选取到，并且有唯一性。

标准形矩阵：

矩阵的标准形是左上角为单位矩阵, 其余子块为0 的分块矩阵。矩阵标准型的理论来自于矩阵的相似性，矩阵在初等变化下有很多数值不一样的表象，但其本质特征，特征多项式等都是相同的，这些相似不变量就是这个矩阵的本质特征。

矩阵的标准形有3种：

1、阶梯型矩阵：阶梯型矩阵是矩阵的一种类型。它的基本特征是，若所给矩阵为阶梯型矩阵则矩阵中每一行的第一个不为零的元素的左边及其所在列以下全为零。

2、行简化梯矩阵：行阶梯形矩阵是指线性代数中的矩阵。在所有全零行的上面，即全零行都在矩阵的底部。

3、等价标准形矩阵：等价标准形矩阵经过多次变换以后，得到一种最简单的矩阵，就是这个矩阵的左上角是一个单位矩阵，其余元素都是零，那么这个矩阵就是原来矩阵的等价标准型。

标准矩阵是一种模式，由纵向的垂直管理系统和横向水平管理系统相结合，而组成的一种组织形式。是一种相互融合，互相托市的运营模式，这种模式运用到商业店辅，如房地产商。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。

对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。

首先，标准形矩阵的左上角一定会有一个阶梯矩阵。

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并且，这个阶梯矩阵一定是一个单位矩阵。

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其次，右边一定是全零的元素。

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同时，单位矩阵的下方也和右边相同为全零元素。

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但是，这些元素必须存在，使其单位矩阵能构成类似于单位矩阵。

就是一个矩阵通过初等行变换变成行最简矩阵（其实一般到行阶梯矩阵就可以了）以后再进行列变换,变成形如的形式,这就叫做矩阵的标准型,其中r是矩阵的秩。