平面向量数量积的几何意义

向量数量积的几何意义：一个向量在另一个向量上的投影。

定义

两向量的数量积等于其中一个向量的模与另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积

两向量α与β的数量积α·β=|α|*|β|cosθ其中|α||β|是两向量的模θ是两向量之间的夹角(0≤θ≤π)

若有坐标α(x1,y1,z1) β(x2,y2,z2)那么 α·β=x1x2+y1y2+z1z2 |α|=sqrt(x1^2+y1^2+z1^2)|β|=sqrt(x2^2+y2^2+z2^2)

把|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影

因此用数量积可以求出两向量的夹角的余弦cosθ=α·β/|α|*|β|

已知两个向量A和B,它们的夹角为C,则A的模乘以B的模再乘以C的余弦称为A与B的数量积(又称内积、点积。)

即已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b"·不可省略若用×则成了向量积

扩展内容：

向量积性质

几何意义及其运用

叉积的长度 |a×b| 可以解释成这两个叉乘向量a,b共起点时，所构成平行四边形的面积。据此有：混合积 [a b c] = (a×b)·c可以得到以a，b，c为棱的平行六面体的体积。

代数规则

1.反交换律：a×b= -b×a

2.加法的分配律：a× (b+c) =a×b+a×c

3.与标量乘法兼容：(ra) ×b=a× (rb) = r(a×b)

4.不满足结合律，但满足雅可比恒等式：a× (b×c) +b× (c×a) +c× (a×b) =0

5.分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的 R3 构成了一个李代数。

6.两个非零向量a和b平行，当且仅当a×b=0。

拉格朗日公式

这是一个著名的公式，而且非常有用：

(a×b)×c=b(a·c) -a(b·c)

a× (b×c) =b(a·c) -c(a·b),

证明过程如下：

二重向量叉乘化简公式及证明

可以简单地记成“BAC - CAB”。这个公式在物理上简化向量运算非常有效。需要注意的是，这个公式对微分算子不成立。

这里给出一个和梯度相关的一个情形：

这是一个霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解的特殊情形。

另一个有用的拉格朗日恒等式是：

这是一个在四元数代数中范数乘法 | vw | = | v | | w | 的特殊情形。

矩阵形式

给定直角坐标系的单位向量i，j，k满足下列等式：

i×j=k；

j×k=i ；

k×i=j ；

通过这些规则，两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来，不需要考虑任何角度：设

a= [a1, a2, a3] =a1i+ a2j+ a3k；

b= [b1,b2,b3]=b1i+ b2j+ b3k ；

则a × b= [a2b3-a3b2,a3b1-a1b3, a1b2-a2b1]。

叉积也可以用四元数来表示。注意到上述i，j，k之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言，若将向量 [a1, a2, a3] 表示成四元数 a1i+ a2j+ a3k，两个向量的叉积可以这样计算：计算两个四元数的乘积得到一个四元数，并将这个四元数的实部去掉，即为结果。更多关于四元数乘法，向量运算及其几何意义请参看四元数（空间旋转）。

高维情形

七维向量的叉积可以通过八元数得到，与上述的四元数方法相同。

七维叉积具有与三维叉积相似的性质：

双线性性：x× (ay+ bz) = ax×y+ bx×z；(ay+ bz) ×x= ay×x+ bz×x；

反交换律：x×y+y×x= 0；

同时与 x 和 y 垂直：x· (x×y) =y· (x×y) = 0；

拉格朗日恒等式：|x×y|² = |x|² |y|² - (x·y)²；

不同于三维情形，它并不满足雅可比恒等式：x× (y×z) +y× (z×x) +z× (x×y) ≠ 0。

两个向量a和b的数量积|a·b|＝|a||b|sinθ，用它可以计算一个相量在另一个相量上的投影长度。

在数学中，数量积(dot product；scalar product，也称为点积、点乘)是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。

两个向量a=[a1，a2，…，an]和b=[b1，b2，…，bn]的点积定为：a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。使用矩阵乘法并把(纵列)向量当作n×1矩阵，点积还可以写为：a·b=a*b^T，这里的b^T指示矩阵b的转置。