一阶微分方程特征方程公式

一、 一阶微分方程

dy判断特征: ,fxy(,)dx

dy类型一:(可分离变量的方程) ,gxhy()()dx

dy解法(分离变量法):，然后两边同时积分。,gxdx()hy()

dy类型二:，,PxyQx()()(一阶线性方程) dx

PxdxPxdx()(),,解法(常数变易法): yeCQxedx(()),，,

dy,,fxyftxty(,)(,)类型三:(一阶齐次性方程) dx

y解法(换元法): 令类型一u,,x

dynP()y=Q(x)y类型四:(伯努利方程) ，xdx

dy,,nn1，,,()()类型二解法(同除法): yPxyQxdx

二、 可降阶的高阶微分方程

()n类型一: yfx,()

du(1)n,令多次积分求,,,,()()uyfxfx解法(多次积分法):dx

类型二: yfxy''(,'),

dp令一阶微分方程pyfxp,,,,'(,)解法: dx

类型三: yfyy''(,'),

dpdpdydp令类型二pypfyp,,,,,,'(,)解法: dxdydxdy

三、线性微分方程

yPxyQxy''()'()0，，,类型一:(二阶线性齐次微分方程)

解法:找出方程的两个任意线性不相关特解:yxyx(),()12

则: yxcyxcyx()()(),，1122

类型二:(二阶线性非齐次微分方程)yPxyQxyfx''()'()()，，,

解法:先找出对应的齐次微分方程的通解:yxcyxcyx()()(),，31122

再找出非齐次方程的任意特解，则:yx()yxyxcyxcyx()()()(),，，pp1122

类型三:(二阶线性常系数齐次微分方程)ypyq'''0，，,

2,,,ppq42解法(特征方程法):,,,，，,,,pq01,22

,xx212(一) ,,,,,,,,，pqycece40,,1212

x(二) ,,,,,,,，0(),,,yccxe1212

x(三),,,,，,,,,，0,(cossin),,,,,,,,iiyecxcx1212

类型四:(二阶线性常系数非齐次微分方程) ypyqfx'''()，，,

解法(待定系数法):

xyx()(1)型:先找出对应齐次微分方程的通解fxPxe()(), 3m

不是特征方程的根，k,0,

kx, ,

实际上公式：y＇＋Py＝Q之通解为y＝［e＾（－∫Pdx）］｛∫Q［e＾（∫Pdx）］dx＋C｝中要求每一个不定积分都要算出具体的原函数且不再加C。而本题∫Pdx＝ax，但∫Q［e＾（ax）］dx＝∫f（x）［e＾（ax）］dx中，因为有抽象函数f（x）无法算出具体的原函数，所以要用不定积分与变限积分的公式：∫f（x）dx＝∫［a→x］f（t）dt＋C（所以每个题都可写上下限。本题用此公式取上式的a＝0，C换为C1，（当然被积函数也要换成本题的被积函数），代入公式后C1＋C换为C2再换为C。这样才能代入初始条件y（0）＝0，求出C。

1 特征方程公式为：a 2023-10-23 15:04:55

为dy/dx +p(x) y = q(x)，其中特征方程为m + p(x) = 0。原因是，通过特征方程可以求得该微分方程的通解，从而得到方程的解析解。是，特征方程的求解可以分为分离变量或变量分离法、齐次方程法、一般的线性微分方程法等方法。其中对于变量分离法，需要将微分方程变换为dy/y = -p(x)dx，然后进行积分即可求得通解。而对于齐次方程法，需要先将微分方程化为dy/dx = f(y/x)，然后将y/x作为一个新的变量u，通过变量替换的方式将微分方程化为关于u的一阶线性微分方程进行求解。

一阶微分方程是形如dy/dx=f(x,y)的方程，特征方程是通过将y表示为一个函数u(x)和它的导数u'(x)来得到的。特征方程的形式是du/dx+P(x)u=0，其中P(x)是原方程中y的系数。通过求解特征方程，我们可以得到y关于x的通解。如果原方程是一个线性方程，则特征方程的解可以用来求出一个特殊解，从而得到完整解。特征方程是一阶微分方程求解中非常重要的概念，掌握其公式和求解过程对于学习微分方程具有重要意义。