数列排列组合公式讲解

排列A(n,m)=n×（n-1）.（n-m+1）=n!/（n-m）!

排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。

排列a与组合c计算方法

计算方法如下

排列A(n,m)=n×（n-1）.（n-m+1）=n!/（n-m）!(n为下标,m为上标,以下同)

组合C(n,m)=P(n,m)/P(m,m)=n!/m!（n-m）!；

例如A(4,2)=4!/2!=4*3=12

C(4,2)=4!/(2!*2!)=4*3/(2*1)=6

排列组合定义

从n个不同元素中，任取m（m≤n,m与n均为自然数）个不同的元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m)表示。

加法原理与分布计数法

1、加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。

2、第一类办法的方法属于集合A1，第二类办法的方法属于集合A2，……，第n类办法的方法属于集合An，那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。

3、分类的要求：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）。

乘法原理与分布计数法

1、乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。

2、合理分步的要求：任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。

推导：把nn个不同的元素任选mm个排序，按计数原理分步进行：

取第一个：有nn种取法；

取第二个：有(n−1)(n−1)种取法；

取第三个：有(n−2)(n−2)种取法；

……

取第mm个：有(n−m+1)(n−m+1)种取法；

根据分步乘法原理，得出上述公式。

排列数性质#

Amn=nAm−1n−1Anm=nAn−1m−1 可理解为“某特定位置”先安排，再安排其余位置。

Amn=mAm−1n−1+Amn−1Anm=mAn−1m−1+An−1m 可理解为：含特定元素的排列有mAm−1n−1mAn−1m−1，不含特定元素的排列为Amn−1An−1m。

组合问题#

组合数#

从nn个不同元素种取出m(m≤n)m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从nn个不同元素种取出mm个元素的组合数，用符号CmnCnm表示。

组合数公式#

Cmn=AmnAmm=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!=n!m!(n−m)!,n,m∈N∗,并且m≤n

Cnm=AnmAmm=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!=n!m!(n−m)!,n,m∈N∗,并且m≤n

C0n=Cnn=1

Cn0=Cnn=1

证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。

将部分排列问题AmnAnm分解为两个步骤：

第一步，就是从nn个球中抽mm个出来，先不排序，此即组合数问题CmnCnm；

第二步，则是把这mm个被抽出来的球排序，即全排列AmmAmm。

根据乘法原理，Amn=CmnAmmAnm=CnmAmm，那么

Cmn=AmnAmm=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!=n!m!(n−m)!

Cnm=AnmAmm=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!=n!m!(n−m)!

组合数的性质#