弦上传播横波的波动方程如何推导

弦上传播横波的波动方程可以通过牛顿的第二定律和弦的弹性性质推导而来。

以下是推导的基本步骤：

假设有一根质量均匀分布的细弦，我们将考虑沿弦的横向振动。

1. 定义一些符号：

- (T)：绳子的张力（牛顿）。

- (mu)：单位长度内的绳子质量（千克/米）。

- (y(x, t))：绳子在位置 (x) 处的位移，随时间 (t) 变化。

- (F_{

ext{net}})：绳子上在 (x) 处的净受力。

2. 考虑弦段 (Delta x) 上的受力：这个弦段的质量为 (Delta x cdot mu)，受到两端张力 (T) 的作用，因此沿 (x) 方向的合力为 (T sin(

heta_1) - T sin(

heta_2))，其中 (

heta_1) 和 (

heta_2) 是弦段两端的斜率。

3. 使用小角度近似（(sin(

heta) approx

an(

heta) approx frac{partial y}{partial x})），可以得到在弦段 (Delta x) 上的合力表达式：

[F_{

ext{net}} = T left(frac{partial y}{partial x}Big|_{x+Delta x} - frac{partial y}{partial x}Big|_{x}

ight)]

4. 根据牛顿的第二定律 (F = ma)，考虑沿 (x) 方向的加速度 (a)，可以得到弦上的波动方程：

[F_{

ext{net}} = (Delta x cdot mu) cdot frac{partial^2 y}{partial t^2}]

5. 将上述两个方程合并，得到弦的波动方程：

[T left(frac{partial y}{partial x}Big|_{x+Delta x} - frac{partial y}{partial x}Big|_{x}

ight) = (Delta x cdot mu) cdot frac{partial^2 y}{partial t^2}]

6. 当 (Delta x) 趋向于零时，可以将上述方程写成微分形式：

[T frac{partial^2 y}{partial x^2} = mu frac{partial^2 y}{partial t^2}]

这就是描述弦上横波传播的波动方程，其中 (frac{partial^2 y}{partial x^2}) 表示空间上的弯曲，(frac{partial^2 y}{partial t^2}) 表示时间上的加速度，它们之间通过张力 (T) 和线密度 (mu) 相关联。这个方程可以用来研究弦上横波的传播和性质。

认为弦上张力T相同,对ds的微元受力分析.sinα(x)≈tanα(x)=UxT sinα(x+dx)-T sinα(x)=ρds Utt≈ρUttdx故Uxx-ρ/T Utt=0弦一般两端固定,上述方程的通解为U[x,t]=∑A_n sin [nπx/L] Exp[j ω_n t](nπ/L)^2=ρ/T (ω_n)^2基频就是n=1,谐频就是n=2,3,4,...直观上差异,基频无节点.

【分析】

波动传播规律可归结为波动方程，根据机械波和电磁波的波动方程进行分析求解．

【解答】

设一弦线的一端固定，另一端与振动源相接．设振动源的振动为

y_{0}sin(omega t + varphi_{0})

y

0

sin(ωt+φ

0

)，它沿弦线传播．设

y = Asin(omega t + varphi)

y=Asin(ωt+φ)为弦上某点的振动．由于弦线是均匀的，各点的振动相同，弦线上任一点的振动可以表示为

y = Asin(omega t + varphi)

y=Asin(ωt+φ)．

把振动源的振动

y_{0}sin(omega t + varphi_{0})

y

0

sin(ωt+φ

0

)代入方程

(1)

(1)，得

y_{0}sin(omega t + varphi_{0}) = Asinvarphicosfrac{pi x}{L} + Acosvarphisinfrac{pi x}{L}

y

0

sin(ωt+φ

0

)=Asinφcos

L

πx

+Acosφsin

L

πx

．

比较同角的正弦与余弦的系数，得$left{ begin{matrix} Asinvarphi = y_{0}sinvarphi_{0}

Acosvarphi = y_{0}cosvarphi_{0}

end{matrix}

ight$.．

解得

A = y_{0}，

anvarphi =

anvarphi_{0}

A=y

0

tanφ=tanφ

0

．

代入

y = Asin(omega t + varphi)

y=Asin(ωt+φ)，得

y = y_{0}sin(omega t + varphi_{0})

y=y

0

sin(ωt+φ

0

)．

因此弦线上任一点的振动与振动源的振动是相同的，只是相位落后

varphi_{0}

φ

0

．

对于弦线上不同点，相位落后不同，离振动源越远，相位落后越多．

弦线中各点的振动状态以波的形式沿弦线传播，这就是横波．它与弹性体中的纵波有着完全不同的特性．

推导过程:

sinα(x)≈tanα(x)=Ux

T sinα(x+dx)-T sinα(x)=ρds Utt≈ρUttdx

故Uxx-ρ/T Utt=0

弦理论，是理论物理的一个分支学科，弦论的一个基本观点是，自然界的基本单元不是电子、光子、中微子和夸克之类的点状粒子，而是很小很小的线状的“弦”（包括有端点的“开弦”和圈状的“闭弦”或闭合弦）。