傅里叶正变换的推导过程

据了解，傅里叶正变换的推导过程如下：

1. 任意周期函数可展开成一组三角函数的级数，即

$f(x)=frac{a_0}{2}+sum_{n=1}^{infty}[a_ncos(nx)+b_nsin(nx)]$

其中，$a_0$、$a_n$和$b_n$为系数。

2. 将上式中的$x$替换为$omega t$，得到

$f(omega t)=frac{a_0}{2}+sum_{n=1}^{infty}[a_ncos(nomega t)+b_nsin(nomega t)]$

3. 对上式进行积分，得到

$int_{-infty}^{infty}f(omega t)e^{-iomega t}d(omega t)=frac{a_0}{2}int_{-infty}^{infty}e^{-iomega t}d(omega t)+sum_{n=1}^{infty}[a_nint_{-infty}^{infty}cos(nomega t)e^{-iomega t}d(omega t)+b_nint_{-infty}^{infty}sin(nomega t)e^{-iomega t}d(omega t)]$

4. 利用欧拉公式$e^{i

heta}=cos

heta+isin

heta$，将积分式中的余弦函数和正弦函数转化为指数形式，即

$int_{-infty}^{infty}cos(nomega t)e^{-iomega t}d(omega t)=frac{1}{2}int_{-infty}^{infty}[e^{inomega t}+e^{-inomega t}]e^{-iomega t}d(omega t)=pidelta(n)+frac{1}{2}int_{-infty}^{infty}e^{-(n-1)iomega t}d(omega t)+frac{1}{2}int_{-infty}^{infty}e^{-(n+1)iomega t}d(omega t)$

$int_{-infty}^{infty}sin(nomega t)e^{-iomega t}d(omega t)=frac{1}{2i}int_{-infty}^{infty}[e^{inomega t}-e^{-inomega t}]e^{-iomega t}d(omega t)=frac{1}{2i}int_{-infty}^{infty}e^{-(n-1)iomega t}d(omega t)-frac{1}{2i}int_{-infty}^{infty}e^{-(n+1)iomega t}d(omega t)$

其中，$delta(n)$为狄拉克δ函数。

5. 将积分式带回初始式子，得到

$int_{-infty}^{infty}f(omega t)e^{-iomega t}d(omega t)=frac{a_0}{2}int_{-infty}^{infty}e^{-iomega t}d(omega t)+sum_{n=-infty}^{infty}[a_npidelta(n)+b_n(frac{1}{2i}int_{-infty}^{infty}e^{-((n-1)iomega t}d(omegat)-frac{1}{2i}int_{-infty}^{infty}e^{-(n+1)iomega t}d(omega t))]$

6. 对于任意常数$A$，有$int_{-infty}^{infty}e^{-A|x|}dx=frac{2A}{A^2+b^2}$，其中$b$为任意正实数。

7. 根据上式，可以计算出积分式中的每一项的值，得到

$int_{-infty}^{infty}f(omega t)e^{-iomega t}d(omega t)=frac{1}{sqrt{2pi}}int_{-infty}^{infty}f(t)e^{-iomega t}dt$

即傅里叶正变换的式子：

$F(omega)=frac{1}{sqrt{2pi}}int_{-infty}^{infty}f(t)e^{-iomega t}dt$

其中，$F(omega)$为函数$f(t)$的傅里叶变换。

1. 假设一个函数f(x)可以表示为一组正弦函数和余弦函数的线性组合，即：

2. 对f(x)进行积分，得到：

3. 对上式中的正弦函数和余弦函数进行傅里叶级数展开，得到：

4. 将上式中的系数an和bn用复数表示，即：

5. 将an和bn代入第三步得到的式子中，得到：

6. 将上式中的系数cn用傅里叶积分公式表示，得到：