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第二类曲线积分的几何意义

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  • 本质上来说的话,第二类曲线积分是求变力沿曲线做的功。第一类曲线积分是求曲线物体的质量。从微积分学角度来说的话,第一类曲线积分是对曲线的线密度积分,就是质量。

    第二类曲线积分是曲线对力的作用效果积分,也就是功。但区别在于它质量是固定值,没有负的,而功虽然也是标量,但它有正负,所以对力的作用效果积分的路径要有个方向,如果是反向,功自然变为相反数。

    至于功,是力的矢量与位移的矢量的内积,力的矢量就是第二类曲线积分的被积向量值函数,而所谓位移就微分成路径的切向量,这样在每一点的力矢与径矢的数量积都是功元素。

    (这里要说明一下,如果路径是反向的话,那么力矢与径矢的数量积也变为相反数,这就是为什么第二类曲线积分路径如果变为反向积分值也会变为反向的本质原因!)

    对这条曲线上的所有功元素积分,就是变力沿曲线所做的功!而至于两类曲线积分的联系,说白了,你把第二类曲线积分每一点的单位切向量拿出来和向量值函数做数量积,然后就变成第一类曲线积分了。

    2023-10-23 15:46:29
  • 第二类曲线积分可以看作是一个向量函数的线积分,所以没有任何实际意义。向量函数(vectorfunction)是向量分析中的基本概念。给出一个点集CU,并在G上选定一个坐标系.若对于G中每一个点p,总有三维欧氏空间R3中的一个确定的向量r和它对应,则称r为定义在CU上的一个向量函数。

    曲线,是微分几何学研究的主要对象之一。直观上,曲线可看成空间质点运动的轨迹。微分几何就是利用微积分来研究几何的学科。为了能够应用微积分的知识,我们不能考虑一切曲线,甚至不能考虑连续曲线,因为连续不一定可微。这就要我们考虑可微曲线

    2023-10-23 15:46:29
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