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全部3个回答 >两点式高斯型求积公式
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高斯型求积公式是一种数值积分方法，用于计算函数在某个区间上的积分值。两点式高斯型求积公式是其中一种特定的求积公式，使用两个采样点来近似积分。在区间上使用两个采样点，可以得到一个二阶精度的求积公式。设定两个采样点为$x_1$和$x_2$，对应的权重为$w_1$和$w_2$。那么函数$f(x)$在区间上的积分值可以近似为：$$int_{a}^{b}f(x)dx approx w_1f(x_1) + w_2f(x_2)$$其中$a$和$b$为积分区间的上下界。两点式高斯型求积公式的具体取值可由数值计算方法得到，常见的两点式高斯型求积公式有梯形公式和辛普森公式。梯形公式使用直线连接两个采样点，辛普森公式则使用二次多项式连接三个采样点，得到更高的精度近似。这两个公式分别为：梯形公式：$$int_{a}^{b}f(x)dx approx frac{b-a}{2}(f(a) + f(b))$$辛普森公式：$$int_{a}^{b}f(x)dx approx frac{b-a}{6}(f(a) + 4fleft(frac{a+b}{2}
ight) + f(b))$$需要注意的是，这里的公式只是使用了两个采样点进行近似，因此精度相对较低，而且对于某些函数可能不准确。为了提高积分精度，可以采用更多的采样点和更高阶的高斯型求积公式。
2023-10-23 15:49:40 -
高斯求积公式是变步长数值积分的一种，基本形式是计算[-1,1]上的定积分。下面简单说明一下思想（仅仅是说明，而非证明）： 假设现在要求f(x)在[-1,1]上的积分值，只允许计算一次f(x)的值，你会怎么做呢？
显然我们会选取一点x0,计算出f(x0),然后用A=f(x0)*2作为近似值。现在问题是怎样选取x0，使得结果尽可能精确呢？
直觉告诉我们选取区间中点最合适，这也就是所谓的中点公式，也就是1点高斯求积公式。
如果选取个点作为计算节点，同样可以按公式：A=k1*f(x1)+k2*f(x2)+...+kn*f(xn)来计算近似值，关键就是如何确定节点xi和系数ki（i=1,2,3,...,n) 理论证明对于n个节点的上述求积公式，最高有2n-1次的代数精度，高斯公式就是使得上述公式具有2n-1次代数精度的积分公式。至于如何确定公式中的节点和系数，最常见的是利用勒让德多项式，具体的这里不方便说，你查查相关资料吧。
2023-10-23 15:49:40
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