空间点旋转计算公式

计算公式是在三维空间中确定由一个点绕另一个点旋转一定角度后的位置坐标。它通常用来描述刚体在三维空间中的姿态变化。其计算公式可分为两种情况，一种是绕坐标轴旋转，一种是绕任意轴旋转。

1. 绕坐标轴旋转

绕坐标轴旋转是指固定一个坐标系不变，将点绕某个坐标轴旋转一定角度。在三维空间中，有三个坐标轴，分别为x、y、z轴。以绕x轴旋转为例，设点P（x，y，z）绕x轴旋转角度为θ，则旋转后的点P'（x'，y'，z'）的坐标为：

x' = x;

y' = y*cosθ - z*sinθ;

z' = y*sinθ + z*cosθ;

绕y轴和z轴旋转同理，只是坐标轴不同。

2. 绕任意轴旋转

绕任意轴旋转是指固定一个空间点不变，将点绕与该点不共面的任意轴旋转一定角度。假设点P（x，y，z）绕向量u（a，b，c）旋转角度为θ，则旋转后的点P'（x'，y'，z'）的坐标为：

x' = (a^2 + (b^2 + c^2)cosθ)*x + (a*b*(1-cosθ) - c*sinθ)*y + (a*c*(1-cosθ) + b*sinθ)*z;

y' = (a*b*(1-cosθ) + c*sinθ)*x + (b^2 + (a^2 + c^2)cosθ)*y + (b*c*(1-cosθ) - a*sinθ)*z;

z' = (a*c*(1-cosθ) - b*sinθ)*x + (b*c*(1-cosθ) + a*sinθ)*y + (c^2 + (a^2 + b^2)cosθ)*z;

其中，cosθ和sinθ可由向量u与坐标轴形成的平面上的旋转矩阵可表示为：

cosθ = cos(α)*cos(β) + cos(γ)*sin(α)*sin(β);

sinθ = cos(γ)*cos(β)*sin(α) - cos(α)*sin(β);

其中，α、β、γ分别是u与x、y、z轴的夹角。

绕任意轴旋转的计算公式较为复杂，需要涉及旋转矩阵的运算，计算量大，但可以描述任意方向的旋转。请问您需要我做什么？

x′=cosγ⋅x−sinγ⋅y y′=sinγ⋅x+coγ⋅y z′=z 最后是代码表示 //将空间点绕Z轴旋转 //输入参数 x y为空间点原始x y坐标 //thetaz为空间点绕Z轴旋转多少度,角度制范围在-180到180 //outx outy为旋转后的结果坐标 voidcodeRotateByZ(doublex,doubley,doublethetaz,double& outx,double& outy) { doublex1 = x;//将变量拷贝一次,保证&x == &outx这种情况下也能计算正确 doubley1

对于空间点的旋转计算，需要知道旋转的轴线和旋转的角度。假设我们要将点P(x, y, z)绕向量V(a, b, c)旋转θ角度，则点P的旋转后的坐标P'为：

P' = (cosθ + (1 - cosθ)a^2)(x - x0) + (1 - cosθ)ab(y - y0) + (sinθc)(z - z0) + x0,

(1 - cosθ)ab(x - x0) + cosθ(y - y0)^2 + (1 - cosθ)b^2(y - y0) + (sinθc)(z - z0) + y0,

(1 - cosθ)ac(x - x0 (1 - cosθ)bc(y - y0) + cosθ(z - z0)^2 + (sinθc)(z - z0) + z0

其中，(x0, y0, z0)是旋转轴线上的点，也就是旋转向量V的起点，a^2、b^2、c^2是V的坐标分量的平方和。

这是一个比较复杂的计算公式，如果需要进行空间点的旋转计算，建议使用计算机程序来实现。常用的计算工具包括MATLAB、Python中的NumPy等。

空间点绕某个向量 $vec{u}$ 旋转 $

heta$ 角度后得到的新点为：

$$

vec{p'} = operatorname{Rotate}(vec{p}, vec{u},

heta) = vec{p}cos

heta + (vec{u}

imes vec{p})sin

heta + vec{u}(vec{u} cdot vec{p})(1 - cos

heta)

$$

其中，$vec{p}$ 是原始的空间点坐标向量。三个加号右侧的三项分别代表绕过原点、绕过以 $vec{u}$ 为轴且与 $vec{p}$ 垂直的平面和绕着 $vec{u}$ 旋转的贡献。这个公式可以用于三维计算机图形学、物理模拟等领域中的点旋转问题。

空间点的旋转可以用矩阵乘法来表示，即旋转矩阵乘以原始点的坐标向量。旋转矩阵可以表示为绕x、y、z轴的三个旋转矩阵的乘积。以绕x轴旋转为例，其矩阵表示为：

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| 10 0|

| 0cos(theta)-sin(theta) |

| 0sin(theta)cos(theta)|

其中，theta表示旋转的角度。

如果需要绕y、z轴旋转，则只需要将矩阵中的x、y、z坐标进行交换即可，比如绕y轴旋转的矩阵为：

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| cos(theta) 0sin(theta) |

| 010|

| -sin(theta)0cos(theta) |

绕z轴旋转的矩阵为：

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| cos(theta) -sin(theta) 0 |

| sin(theta) cos(theta)0 |

| 00 1 |

对于一个空间点p(x,y,z)，如果需要绕x轴旋转theta角度，则旋转后的点p'的坐标为：

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| 10 0| | x | | x' |

| 0cos(theta)-sin(theta) | * | y | = | y' |

| 0sin(theta)cos(theta)| | z | | z' |

同理，如果需要绕y、z轴旋转，则只需要将旋转矩阵中的x、y、z坐标进行交换即可。