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全部3个回答 >自动控制原理留数法公式
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留数法是一种计算复杂积分的方法，适用于包围在简单封闭曲线上的孤立奇点。留数法的公式为：Res(f, z0) = lim(z->z0) [(z - z0) * f(z)]其中，f(z)是在z0处有孤立奇点的函数，z0是该奇点的位置。lim表示极限运算。这个公式表示，要计算函数f(z)在z0处的留数，可以先展开f(z)为洛朗级数，然后取级数展开式中(z - z0)的系数，即为留数。特别地，对于一阶极点z0，留数可以用以下公式计算：Res(f, z0) = lim(z->z0) [(z - z0) * f(z)] = f(z0)对于二阶及以上的极点，留数的计算需要考虑级数展开的更多项。请注意，具体的留数计算方法还取决于奇点的类型和函数的形式。以上公式仅适用于一些简单的情况，实际应用中可能需要使用其他方法来计算留数。
2023-10-23 15:58:12 -
比如，f(z)=1/[z·(z-1)²]
求：
1. res[f(z),0]2.res[f(z),1]
1.把f(z)在圆环域：0＜|z|＜1内展开成洛朗级数：
f(z)=1/z·1/(z-1)²=1/z·(1+2z+3z²+……)
展开式的C(-1)=1
所以，res[f(z),0]=1
2.把f(z)在圆环域：0＜|z-1|＜1内展开成洛朗级数：
f(z)=1/(z-1)²·1/[1+(z-1)]
=1/(z-1)²·[1-(z-1)+(z-1)²-(z-1)³+……]
展开式的C(-1)=-1
所以，res[f(z),1]=-1
留数是复变函数中的一个重要概念，指解析函数沿着某一圆环域内包围某一孤立奇点的任一正向简单闭曲线的积分值除以2πi。留数数值上等于解析函数的洛朗展开式中负一次幂项的系数。根据孤立奇点的不同，采用不同的留数计算方法。留数常应用在某些特殊类型的实积分中，从而大大简化积分的计算过程。
2023-10-23 15:58:12
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