二阶非齐次线性微分方程的通解结构

二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y''+py'+qy=f(x)，其特解y*设法分为：

1. 如果f(x)=P（x），Pn（x）为n阶多项式；

2.如果f(x)=P（x）e^αx，Pn（x）为n阶多项式。

二阶常系数齐次线性微分方程

标准形式

y″+py′+qy=0

特征方程

r^2+pr+q=0

通解

1.两个不相等的实根：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)

2.两根相等的实根：y=(C1+C2x)e^(r1x)

3.一对共轭复根：r1=α+iβ,r2=α-iβ：y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)

特解y*设法

1、如果f(x)=P（x），Pn（x）为n阶多项式。

若0不是特征值，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=0，λ=0；因为Qm(x)与Pn（x）为同次的多项式，所以Qm(x)设法要根据Pn（x）的情况而定。

比如如果Pn（x）=a（a为常数），则设Qm(x)=A（A为另一个未知常数）；如果Pn（x）=x，则设Qm(x)=ax+b；如果Pn（x）=x^2，则设Qm(x)=ax^2+bx+c。

若0是特征方程的单根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=1，λ=0，即y*=x*Qm(x)。

若0是特征方程的重根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=2，λ=0，即y*=x^2*Qm(x)。

2、如果f(x)=P（x）e^αx，Pn（x）为n阶多项式。

若α不是特征值，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^αx中，k=0，即y*=Qm(x)*e^αx，Qm(x)设法要根据Pn（x）的情况而定。

若α是特征方程的单根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^αx中，k=1，即y*=x*Qm(x)*e^αx。

若α是特征方程的重根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=2，即y*=x^2*Qm(x)*e^αx。

3、如果f(x)=[Pl（x）cos(βx)+Pn（x）sin(βx)]e^αx，Pl（x）为l阶多项式，Pn（x）为n阶多项式。

若α±iβ不是特征值，在令特解y*=x^k*[Rm1(x)cos(βx)+Rm2(x)sin(βx)]e^αx中，k=0，m=max{l,n}，Rm1(x)与Rm2(x)设法要根据Pl（x）或Pn（x）的情况而定（同Qm(x)设法要根据Pn（x）的情况而定的原理一样）。

即y*=[Rm1(x)cos(βx)+Rm2(x)sin(βx)]e^αx

若α±iβ不是特征值，在令特解y*=x^k*[Rm1(x)cos(βx)+Rm2(x)sin(βx)]e^αx中，k=1，即y*=x*[Rm1(x)cos(βx)+Rm2(x)sin(βx)]e^αx。

二阶常系数非齐次线性微分方程通解公式：y'+py'+qy=f(x)。其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。

若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。

常微分方程在高等数学中已有悠久的历史，由于它扎根于各种各样的实际问题中，所以继续保持着前进的动力。二阶常系数常微分方程在常微分方程理论中占有重要地位，在工程技术及力学和物理学中都有十分广泛的应用。比较常用的求解方法是待定系数法、多项式法、常数变易法和微分算子法等