三角恒等变换讲解

关于两角差的余弦公式

(1)公式的结构特点

公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．

(2)公式中的角α，β

公式中的角α，β不仅可以是角，而且可以是任意的整体，可以根据题目需要进行替换、变形代入，展开式仍然成立．

(3)公式的灵活应用

首先是公式的逆用，可以把符合公式特点的展开式合并，其次是角的灵活变化，如cos α＝cos[(α＋β)－β]．

1．两角和与差的正弦公式的一般使用方法

(1)正用：把sin(α±β)从左向右展开．

(2)逆用：公式的右边化简成左边的形式，当结构不具备条件时，要用相关公式调节后再逆用．

(3)变形应用：它涉及两个方面，一是公式本身的变形；二是角的变形，也称为角的拆分变换，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)．

2．公式T(α±β)的结构特征和符号规律

(1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．

(2)符号规律：分子同，分母反．

知识点2两角和与差的正切公式的变形

(1) T(α＋β)的变形：

tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)．

tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)．

tan αtan β＝1－.

(2) T(α－β)的变形：

tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．

tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)．

tan αtan β＝－1.

知识点3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

三角就是指三角函数

恒等就是指无论x取什么值

变换都是成立的

变换的方法就是根据三角公式比如倍角公式

和差化积

积化和差

等等

变形技巧有弦切互化、异名化同名、异次化同次、异角化同角。

(1)三角恒等变换就是利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式、倍半角公式等进行简单的恒等变换. 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.

(2)对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角恒等变换的重要特点.

(3)在三角变换时要选准解决问题的突破口，要善于观察角的差异，注意拆角和拼角的技巧；观察函数名称的异同，注意切化弦、化异为同的方法的选用；观察函数式结构的特点等.

①注意掌握以下几个三角恒等变形的常用方法和简单技巧：

(i)常值代换，特别是“1”的代换，如：

1、＝sin2θ＋cos2θ等；

(ii)项的分拆与角的配凑；

(iii)降次与升次；

(iv)万能代换.

②对于形如asinθ＋bcosθ的式子，要引入辅助角φ并化成sin(θ＋φ)的形式，这里辅助角φ所在的象限由a，b的符号决定，φ角的值由tanφ＝a(b)确定.对这种思想，务必强化训练，加深认识.