乘法积分运算法则

定积分的乘除法则：

定积分有分步积分，公式∫udv = uv - ∫vdu

没有什么乘除法则

定积分没有乘除法则，多数用换元积分法和分部积分法。

换元积分法就是对复合函数使用的：

设y = f(u)，u = g(x)

∫ f[g(x)]g'(x) dx = ∫ f(u) du

换元积分法有分第一换元积分法：设u = h(x)，du = h'(x) dx

和第二换元积分法：即用三角函数化简，设x = sinθ、x = tanθ及x = secθ

还有将三角函数的积分化为有理函数的积分的换元法：

设u = tan(x/2)，dx = 2/(1 + u²) du，sinx = 2u/(1 + u²)，cosx = (1 - u²)/(1 + u²)

分部积分法多数对有乘积关系的函数使用的：

∫ uv' dx

= ∫ udv

= uv - ∫ vdu

= uv - ∫ vu' du

其中函数v比函数u简单，籍此简化u。是由导数的乘法则(uv)' = uv' + vu'推导过来的。

有时候v' = 1的，例如求∫ lnx dx、∫ ln(1 + x) dx等等。

还有个有理积分法：将一个大分数分裂为几个小分数。

例如1/(x² + 3x + 2) = 1/((x + 1)(x + 2)) = 1/(x + 1) - 1/(x + 2)

关于这个问题，乘法积分运算法则是指如果一个积分式可以分解成两个函数的乘积形式，即 $f(x)g(x)$，那么这个积分式可以通过积分分部公式进行求解。具体而言，积分分部公式是：

$$int udv = uv - int vdu$$

其中 $u$ 和 $v$ 是两个可微函数。应用积分分部公式，我们可以将 $f(x)g(x)$ 分解成两个可微函数 $u$ 和 $v$ 的积分形式：

$$int f(x)g(x)dx = int u(x)v(x)dx$$

其中 $u$ 和 $v$ 的具体选取可以有多种方式，常用的一种是让 $u$ 等于 $f(x)$，$dv$ 等于 $g(x)dx$，这样可以得到：

$$int f(x)g(x)dx = f(x)int g(x)dx - int f'(x)int g(x)dx dx$$

其中 $int g(x)dx$ 和 $int f'(x)g(x)dx$ 可以通过基本积分公式进行求解。

关于这个问题，乘法积分运算法则是指，将积分式中的被积函数拆分成多个因式的乘积形式，然后依次对每个因式进行积分，最后将所有积分结果相乘得到原积分式的解。具体地，若有积分式：

∫f(x)dx

其中f(x)可以拆分成m个因式的乘积形式：

f(x)=g1(x)g2(x)…gm(x)

则有：

∫f(x)dx=∫g1(x)dx∫g2(x)dx…∫gm(x)dx

其中每个∫gi(x)dx表示对gi(x)进行积分的结果。需要注意的是，乘法积分运算法则只适用于由多个因式的乘积形式构成的积分式，若积分式不满足此条件，则需要采用其他方法求解。

选择x作导数，e^x作原函数，则

积分=xe^x-se^xdx=xe^x-e^x+C

一般可以用分部积分法: 形式是这样的: 积分:u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-积分:u'(x)v(x)dx 被积函数的选择。

积分分类

不定积分（Indefinite integral）

即已知导数求原函数。若F′(x)=f(x)，那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R C为常数).也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)（C是任意常数）。所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。即如果一个导数有原函数，那么它就有无

定积分限多个原函数。

定积分 （definite integral）

定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。