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二次型的标准型和特征值的关系

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  • 这并不一定,要看标准型是通过什么转换完成的。

    如果是正交变换,那变换出来的系数是特征值。如果是配方法,那系数就不是特征值。

    追问

    配方法的系数有没有什么意义?

    追答

    要说意义的话,配方法转换要比正交转换简单,毕竟不需要求特征值和特征向量,只要保证转换矩阵可逆就行了。对于解题来说,如果题目没有明确要求使用正交法求标准型,那用配方法可以很快解出答案。

    另外,配方法得出的标准型和正交法标准型有同样的规范型,这个特点在判断正负惯性指数时很有用,因为有些矩阵求特征值非常困难。

    2023-10-23 11:19:00
  • 大家说得对,对称矩阵(二次型)正交变换后的得到是特征值。因为

    1、相似对角变换是P^-1AP,合同对角变换是P'AP;2正交变换时P^-1=P',所以得到的对角阵既是合同的又是相似的;3相似对角阵里的对角线元素是特征值,因此二次型正交变换得到的对角线元素是特征值;4而配方法属于合同变换,(一般)不是正交变换;因此除正交变换外的其他合同变换如配方法 就得不到特征值了。

    2023-10-23 11:19:00
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