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积分上下限换元变换公式

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  • 积分变量改变了,积分限相应也要改变,本题具有过程如下:

    上限:t=x,使用u=x-t换元后对应: u=x-t=x-x=0

    下限:t=0,使用u=x-t换元后对应: u=x-t=x-0=x

    设函数f(x) 在区间[a,b]上连续,将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn],其中x0=a,xn=b。可知各区间的长度依次是:△x1=x1-x0,在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi(1,2,...,n),作和式 。

    该和式叫做积分和,设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}(即λ是最大的区间长度),如果当λ→0时,积分和的极限存在,则这个极限叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分,记为 ,并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。

    其中:a叫做积分下限,b叫做积分上限,区间[a, b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积表达式,∫ 叫做积分号。

    之所以称其为定积分,是因为它积分后得出的值是确定的,是一个常数, 而不是一个函数。

    2023-10-23 17:19:55
  • 开始的变量是t,换元后的变量是u,积分过程中x始终视为常数。换元前t的变化范围是(0,x)

    如今,x-t=u当t=0时,u=x当t=x时,u=0所以换元后u的变化范围是(x,0)

    最后为了把-du中的负号消去,于是就将积分上下限换下位置,变回(0,x)

    2023-10-23 17:19:55
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