一致收敛的判断方法

一致收敛判别法是判定函数列与函数项级数是否收敛的重要方法，其中比较著名的有柯西准则、魏尔斯特拉斯判别法以及阿贝尔判别法等，它们是数学分析中重要的理论基础。

设

是一列定义在同一数集E上的函数，称为定义在 上的函数列，简记为。

对于函数列，我们不仅要讨论它在哪些点上收敛，而更重要的是要研究极限函数所具有的解析性质。比如能否由函数列每项的连续性判断出极限函数的连续性。又如极限函数的导数和积分，是否分别是函数列每项导数或积分的极限。对这些问题的讨论，只要求函数列在数集D上的收敛是不够的，必须对它在D上的收敛性提出更高的要求才行，这就是以下所要讨论的一致收敛性问题。

定义1

设函数列 与函数 定义在同一数集D上，若对任给的正数 ，总存在某一正整数N，使得当 时，对一切 ，都有

则称函数列 在D上一致收敛于 ，记作

由定义可以看到，如果函数列 在D一致收敛，那么对于所给的 ，不管D上的哪一点 ，总存在公共的 （即N的选取仅与 有关，与 的取值无关），只要 ，都有

由此看到函数列 在D上一致收敛，必在D上的每一点都收敛。反之，在D上每一点都收敛的函数列 ，在D上不一定一致收敛。

定理1（函数列一致收敛的柯西准则）

函数列 在数集D上一致收敛的充要条件是：对任给正数 ，总存在正数N，使得当 时，对一切 ，都有

函数项级数及其一致收敛性

设 是定义在数集E上的一个函数列，表达式

称为定义在E上的函数项级数，简记为或。称

为函数项级数（2）的部分和函数列 。

若，数项级数

收敛，即部分和当时极限存在，则称级数（2）在点收敛，称为级数（2）的收敛点。若级数（4）发散，则称级数（2）在点发散。若级数（2）在E上某个子集D上每点都收敛，则称级数（2）在D上收敛。若D为级数（2）全体收敛点的集合，这时则称D为级数（2）的收敛域。级数（2）在D上每一点与其所对应的数项级数（4）的和构成一个定义在D上的函数，称为级数（2）的和函数，并写作

即

也就是说，函数项级数（2）的收敛性就是指它的部分和函数列（3）的收敛性。

定义2

设是函数项级数的部分和函数列。若在数集D上一致收敛于，则称在上一致收敛于。

定理2（一致收敛的柯西准则）

函数项级数在数集D上一致收敛的充要条件为：对任给的正数，总存在某正整数N，使得当时，对一切和一切正整数，都有

或

函数项级数的一致收敛性判别法

定理3（魏尔斯特拉斯判别法）

设函数项级数定义在数集D上， 为收敛的正项级数，若对一切，有

则函数项级数在D上一致收敛 。

下面讨论定义在区间上形如

的函数项级数的一致收敛性判别法，它与数项级数一样，也是基于阿贝尔分部求和公式。

关于函数项级数非一致收敛判别方法的研究有不少的文献都曾讨论过.但是仅仅给出几种方法,还不能令人满意.通过对函数项级数一致收敛的定义及其性质的综合归纳分析,给出了判定某些函数项级数在某一区间内非一致收敛的三种基本而又简便的方法,可解决有关函数项级数非一致收敛的几种问题,具有一定的学术参考价值。