容斥极值公式推导

容斥极值公式是指在一些集合的交集中选取一定数量的元素，使得这些元素的某个函数取得最大或最小值的公式。其推导过程如下：

假设有 $n$ 个集合 $A_1,A_2,cdots,A_n$，它们的交集为 $S=A_1cap A_2capcdotscap A_n$，设 $f(x)$ 是 $S$ 中元素 $x$ 的某个函数。我们要从 $S$ 中选取 $k$ 个元素，使得它们的函数值之和最大。

我们用 $f_i(x)$ 表示 $x$ 在 $A_i$ 中的函数值，显然有 $f(x)=sum_{i=1}^n f_i(x)$。我们记 $S_k$ 为 $S$ 中选取 $k$ 个元素的集合，$f(S_k)$ 表示 $S_k$ 中所有元素的函数值之和。于是我们要求的是：

$$max_{S_ksubseteq S,|S_k|=k} f(S_k)$$

我们可以通过容斥原理来解决这个问题。首先我们求出所有 $A_i$ 的并集 $T=A_1cup A_2cupcdotscup A_n$，并将 $T$ 中的元素按照在哪些集合中出现过分成 $n+1$ 组：

$$T_0=Tsetminus S,T_i=A_isetminus S,(1leq ileq n)$$

显然 $T_0$ 中的元素均不在 $S$ 中，而 $T_i$ 中的元素都在 $S$ 中但不在 $A_i$ 中。于是我们可以得到：

$$S_k=bigcup_{i=1}^k (Scap T_i),quad(0leq kleq n)$$

这是因为要选 $k$ 个元素，就必须从 $k$ 个集合中至少选出一个元素，而这个元素就可以来自 $T_i$ 中的任意一个元素。

接下来我们考虑 $f(S_k)$ 的值。显然有：

$$f(S_k)=sum_{i=1}^nsum_{xin Scap T_i}f_i(x)$$

我们可以将 $x$ 的求和范围拆分成若干个集合的交，并利用容斥原理来求解。例如，当 $k=2$ 时，我们有：

$$begin{aligned} f(S_2)&=sum_{i=1}^nsum_{x,yin Scap T_i,x

eq y}f_i(x)+sum_{i<j}sum_{xin Scap T_i,yin Scap T_j}f_i(x)+f_j(y) &;;;;-sum_{i=1}^nsum_{xin Scap T_i}sum_{yin Scap T_i,y

eq x}f_i(x)-sum_{i<j}sum_{xin Scap T_i,yin Scap T_j}sum_{zin Scap T_i}sum_{win Scap T_j,w

eq y}f_i(z)+f_j(w) &=sum_{i=1}^nsum_{x,yin Scap T_i,x

eq y}f_i(x)+sum_{i<j}sum_{xin Scap T_i,yin Scap T_j}f_i(x)+f_j(y) &;;;;-sum_{i=1}^nsum_{x,yin Scap T_i,x<y}f_i(x)-sum_{i<j}sum_{xin Scap T_i,yin Scap T_j}f_i(x)-f_j(y)end{aligned}$$

我们可以发现，其中的第一行是在求集合的并，而第二行是在求集合的交。根据容斥原理，这两行的差值即为 $f(S_2)$ 的值：

$$f(S_2)=sum_{i=1}^nsum_{x,yin Scap T_i,x<y}f_i(x)-sum_{i<j}sum_{xin Scap T_i,yin Scap T_j}f_i(x)-f_j(y)$$

我们可以类似地求得 $f(S_k)$ 的值，从而得到 $max_{S_ksubseteq S,|S_k|=k} f(S_k)$ 的值。最终答案即为 $max_{k=0}^nmax_{S_ksubseteq S,|S_k|=k} f(S_k)$。

设总数为m，三个集合为a，b，c a之外为m-a，b之外为m-b，c之外为m-c 所有集合之外的和为m-a+m-b+m-c 再用m减去上诉和值得 ABC=m-(m-a+m-b+m-c）=a+b+c-2m

容斥极值公式是一种用于求解多个集合交集的最大或最小值的公式，其推导如下：

假设有 $n$ 个集合 $A_1,A_2,dots,A_n$，要求它们的交集的最大值或最小值，可以使用容斥原理来求解。具体步骤如下：

1. 首先，将集合 $A_1,A_2,dots,A_n$ 的交集最大化或最小化转化为求解它们的补集的并集的最小值或最大值。

2. 根据容斥原理，可以将补集的并集表示为所有两两交集的补集的并集的交集或并集。

3. 对于任意两个集合 $A_i$ 和 $A_j$，它们的交集的补集为 $A_icup A_j$，它们的交集为 $A_icap A_j$。因此，可以把所有两两交集的补集表示为 $bigcuplimits_{i=1}^{n-1}bigcuplimits_{j=i+1}^{n}(A_icup A_j)$。

4. 最后，根据所求的最大值或最小值，将所有两两交集的补集的并集的交集或并集求出即可。

综上，容斥极值公式可以表示为：

$$

maxlimits_{xin A_1cap A_2capdotscap A_n}{f(x)}=maxlimits_{Ssubseteq{1,2,dots,n}}{sumlimits_{iin S}(-1)^{|S|-1}f(x)}

$$

或

$$

minlimits_{xin A_1cap A_2capdotscap A_n}{f(x)}=minlimits_{Ssubseteq{1,2,dots,n}}{sumlimits_{iin S}(-1)^{|S|-1}f(x)}

$$

其中，$f(x)$ 是关于交集 $A_1cap A_2capdotscap A_n$ 中元素 $x$ 的函数，$S$ 是集合 ${1,2,dots,n}$ 的子集。

容斥极值公式是：A∪B∪C=A+B+C-A∩B－B∩C-A∩C+A∩B∩C。容斥原理是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。

如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和=A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。

容斥极值公式是用来解决与容斥原理相关的极值问题的数学公式。这个公式主要用于处理集合之间的交、并、补等关系，以解决在计算满足特定条件的元素数量时可能出现的重复计算问题。

容斥极值公式的一般形式如下：

F(N) = σ(|A| - σ|Ai ⊕ B|) / σ|A|

其中：

- F(N) 表示满足给定条件的元素数量

- |A| 表示集合 A 中元素的数量

- |Ai ⊕ B| 表示集合 A 和集合 B 的交集的元素数量

- σ|A| 表示集合 A 中所有元素的数量之和

举个具体的例子，假设我们有以下三个集合：

1. 集合 A = {A1, A2, A3}

2. 集合 B = {B1, B2, B3}

3. 集合 C = {C1, C2, C3}

现在我们要计算满足以下条件的元素数量：

1. 元素 A1 在集合 A 和集合 B 中出现

2. 元素 A2 在集合 A 和集合 C 中出现

3. 元素 A3 在集合 B 和集合 C 中出现

使用容斥极值公式，我们可以计算满足条件的元素数量：

F(3) = σ(|A| - σ|A1 ⊕ B|) / σ|A|

F(3) = σ(|A| - |A1 ⊕ B| + |A1 ⊕ C| + |A2 ⊕ C| + |A3 ⊕ B| + |A3 ⊕ C|)

F(3) = (3 * 3) / 3

F(3) =