递归数列四大定理

递归数列

递归数列（recursive sequence ）：一种给定A1后，用给定递归公式An+1=f(An)由前项定义后项所得到的数列。

基本信息

外文名recursive sequence

定义

给定，由递归公式 由前项定义后项所得到的数列 称为递归定义数列，简称为递归数列（recursive sequence ）。

等差数列

若递归函数为，那么给定 后，由递归公式 定义出来的数列 是等差数列，容易求出其通项公式为。

等比数列

若递归函数为，那么给定，由递归公式 定义出来的数列 是等比数列，容易求出其通项公式为。

一阶线性递归数列

等差数列、等比数列对应的特殊的递归函数、 ，比这些稍复杂一点的是普通的一元线性函数 定义的递归数列。

若递归函数为一元线性函数，那么由递归公式，即 定义的数列 称为一阶线性递归数列，在给定 后，如何求出定义出来的一阶线性递归数列的通项呢？一般有两种做法：

（1）我们可以将 拆项相凑改写为，若记，这就成为了递归等比数列的递归模式 了。由，即，可得。

递归数列

递归数列

（2）也可以在猜测 后，通过待定系数法求出 和，再用数学归纳法证明。

例1给定，求由一阶线性递归公式 定义的数列的通项。

解法1将 改写为，显然应该取，记，

则有， 。所以，最后可得

解法2猜测，由， ，通过待定系数法求出，即。下面用数学归纳法证明。

递归数列

初始验证：时， ，符合通项公式。

通项假定：设 时结论成立，即，

渐进递推： ，即 时结论也成立。

所以 确为所求之通项公式。

非线性递归

有很多非常有趣的数学问题可以归结为递归数列，但其对应的递归函数不一定都是线性函数，在研究其收敛性时也未必要把通项求出来。

例1已知， ， ，试证明由此递归定义的数列 收敛，并求其极限。

解利用数学归纳法可以证明数列单调增加，事实上，设，那么。

再利用数学归纳法可以证明数列有上界，事实上，设，那么。

根据单调有界数列必收敛，可设，且必有，

递归数列

从而由 可得，得唯一正数解，即。

例2已知， ， ，试证明由此递归定义的数列 收敛，并求其极限。

解利用数学归纳法可以证明数列子数列 单调减少有下界0，有。

利用数学归纳法可以证明数列子数列 单调增加有上界1，有。

所以。

一阶线性差分方程

一阶线性递归数列的递归关系式，对应了一个一阶线性非齐次差分方程，一阶线性非齐次差分方程的解法本质上就是体现了求一阶线性递归数列通项的方法。

二阶线性齐次递归数列

例3设x1=3，x2=7，x(n+2)=5x(n+1)-6Xn，求数列 的通项。

解将递归定义式改写为，可知数列 是以3为公比的等比数列，由此可求得，

再改写为，可知数列 是等比数列，由此可求得。

最后可得数列通项为。

本例解法具有较普遍一类问题具有典型意义及推广价值。

例4（斐波那契数列）设F1=1，F2=1，F(n+2)=F(n+1)+Fn ，求数列{Fn} 的通项。

分析与解斐波那契数列是一个非常典型的二阶递归数列，这类二阶线性齐次递归数列问题的解法，可由本词条例3的解法得到启发，若方程（特征方程）有两个不相等的实数解（特征根） ，则由二阶线性齐次式F(n+2)+pF(n+1)+qFn=0递归定义数列的通项为，其中待定常数 由给定的两个初始项确定。

这里斐波那契数列对应的特征方程为，特征根为。所以可得

根据，可确定出，即

递归数列极限

设 区间I，若f(x)在区间I单调上升，a>a（a<a） ，则数列{a}单调上升（单调下降）；若f(x)在区间I单调下降，则数列{a}不具单调性。

证：设f(x)在区间I单调上升，由a>a得到f(a)>f(a) ，即a>a。若a>a ，则f(a)>f(a) ，即a>a。因此对于 有a>a ，即数列{a}单调上升。当a<a 时同样可证数列{a}单调下降。另一结论类似可证。

递归数列的四大定理是指用于证明和研究递归数列性质的四个重要定理，它们分别是：

1. 递推关系唯一性定理（The Uniqueness Theorem）：对于给定的初始条件和递推关系，如果一个递归数列满足该关系，并且初始条件确定，那么该递推关系所产生的数列是唯一确定的。换句话说，相同的递推关系和初始条件会导致相同的数列。

2. 递推数列的存在性定理（The Existence Theorem）：对于给定的初始条件和递推关系，存在一个递归数列满足该关系。这个定理保证了在合理的初始条件和递推关系下，数列是存在的。

3. 递推数列的收敛性定理（The Convergence Theorem）：如果一个递归数列满足一定的条件，并且在无限项时趋向于一个极限值，那么该数列是收敛的。这个定理用于证明递归数列是否会趋于稳定值或发散。

4. 递推数列的解析解定理（The Closed-form Solution Theorem）：有些递归数列可以找到一个解析的公式来表示其第n项，而不需要通过递推关系一步步计算。这个定理说明了在某些情况下，可以找到一种更简洁和直接的方式来表示递归数列。

这四个定理是研究递归数列时常用的工具和方法，它们为我们理解和分析递归数列的性质提供了基础。