质增效应推导

质增效应（Zeeman effect）是指在磁场作用下，原子或分子能级的能量发生分裂的现象。下面是质增效应的推导过程：

1. 首先考虑一个单电子原子（如氢原子）在外加磁场下的情况。原子的电子绕着原子核运动形成了一个电流环，而电流受到外磁场的作用力。根据洛伦兹力的原理，该作用力可以表示为 F = qvB，其中 F 是作用力，q 是电子的电荷，v 是电子的速度，B 是磁场强度。

2. 由于电子绕核运动，其速度方向存在径向和轴向分量。在原子内部，径向速度远小于轴向速度，因此只考虑轴向速度对能级的影响。轴向速度 v 可以表示为 v = ωr，其中 ω 是角频率，r 是轨道半径。

3. 将速度 v 的表达式代入洛伦兹力的公式中，可以得到 F = q(ωr)B。注意，角频率 ω 是电子在轨道上的运动频率。

4. 根据量子力学理论，电子在原子中的运动是量子化的，它只能占据一系列的能级。在没有磁场作用时，这些能级是简并的，即具有相同的能量。但在外加磁场的作用下，能级将发生分裂。

5. 根据玻尔模型，原子的能级可以用量子数 n、l 和 m 来描述，其中 n 是主量子数，l 是角量子数，m 是磁量子数。在磁场作用下，每个能级将进一步分裂成多个子能级。

6. 根据角动量量子化的条件，磁量子数 m 的取值范围为 -l, -l+1, ..., l-1, l。在磁场作用下，不同磁量子数对应的子能级具有不同的能量。

7. 根据磁场的强度和方向，不同子能级之间的能量差异可以表示为 ΔE = gμBmB，其中 g 是朗德因子，μB 是玻尔磁子，mB 是电子的磁矩，B 是磁场的强度。

8. 因此，质增效应导致了原子能级的能量分裂，子能级之间的能量差异与磁矩的取向有关。具体的能级分裂模式取决于原子的特定结构和磁场的特性。

总结起来，质增效应的推导过程主要基于经典电磁学和量子力学的原理，考虑了电子在原子中的运动和外加磁场的作用力。通过量子化的能级和角动量，质增效应导致了原子能级的能量分裂，进一步揭示了磁场对原子的影响。

质速关系（mass-velocity relation）。在相对论力学中，物体的惯性质量分为静质量和相对论质量，两者的关系式即质速关系。质速关系又称为质增效应，是相对论性效应之一。

在相对论力学中，质能关系等都是由质速关系推导出来的。相对论时空观认为参考系变换等价于闵氏时空的旋转，同一个物理过程，其作用量经过参考系变换是不变的。

考虑任意一个物理过程，其作用量为

S=∫Ldt=∫γLdτ

其中γ为洛伦兹因子，γ=1/(1－v2/c2)1/2。L为拉格朗日函数，τ为不随参考系的变换而改变的固有时，所以γL也是不依赖于参考系选取的常量，令γL=α，则

L=α/γ

考虑一个不受任何外力作用的物体做惯性运动，低速条件下，相对论力学退化为牛顿力学形式，有

1/γ≈1－v2/2c2，故

L≈α－αv2/2c2

现在要求这个形式与牛顿力学形式一致。在牛顿力学中，物体不受任何外力时，

L=T－V=mv2/2－0=mv2/2

由于在L上加减任何一个常数，不影响最小作用量原理，因此两相对比可以得到

α=－mc2

于是得到相对论条件下的拉格朗日函数

L=－mc2/γ=－mc2/(1－v2/c2)1/2

而物体的动量

p=∂L/∂v

最后可得

p=mv/(1－v2/c2)1/2=γmv

由此可见，在相对论中，物体的惯性质量不再是个常量m，而是随着物体的速度而变化，即

m'=γm

这里的m'是相对论质量，m是牛顿力学中的质量，即静质量m0。将上式中的m'换成m，m换成m0，即可得

m=γm0

设卡车上有一个静止小球，质量在卡车上测量为m。这个小球相对于地面，在以速度v做匀速直线运动。由于小球前进△x的距离，在卡车参考系上看来时间是△t，则地面参照系上，小球前进△x的距离用了△t'的时间，△t'为膨胀后的时间。

小球的动量，在地面参照系上就应该为P=m（△x/△t'）。设β为时间膨胀的比例因子，我们可以将动量写成

P=m（△x/△t'）=m（△x/△t）（△t/△t'）=m（△x/△t）（1/β）=m/β（v），

由于小球在地面参照系上的速度为v，结合动量公式P=MV，就能发现m/β就是地面上测量到的小球的质量，因此我们得到质量增加公式