ax=0的解空间维数怎么算

对于矩阵方程 $Ax=b$，它的解可以表示为 $x=sum_{i=1}^{n}c_i boldsymbol{v_i}$，其中 $c_i$ 为任意常数，$boldsymbol{v_1}, boldsymbol{v_2}, ..., boldsymbol{v_n}$ 是矩阵 $A$ 的列向量。

而对于方程 $Ax=0$，它的解（也称为“零空间”或“核”）可以表示为 $x=sum_{i=1}^{k}c_i boldsymbol{v_i}$，其中 $c_i$ 为任意常数，$boldsymbol{v_1}, boldsymbol{v_2}, ..., boldsymbol{v_k}$ 是矩阵 $A$ 的列向量构成的向量组，且这个向量组满足 $sum_{i=1}^{k}c_i boldsymbol{v_i}=0$。

解释一下这个结论：当 $Ax=0$ 时，等价于是在求 $Ax=b$ 中的齐次解，即 $Ax=0$ 的所有解。解向量 $x$ 可以表示为自由变量与基础解系的线性组合，其中自由变量的个数就是解空间的维数。基础解系也就是上面提到的列向量构成的向量组 $boldsymbol{v_1}, boldsymbol{v_2}, ..., boldsymbol{v_k}$，它们的个数也就是解空间的维数。

因此，对于方程 $Ax=0$，解空间的维数等于矩阵 $A$ 的列空间的维数（也就是入门线性代数教材中常见的“秩”）减去矩阵 $A$ 的秩。即：$

ext{dim}(Nul(A))=

ext{dim}(Cols(A))-

ext{rank}(A)$。

对于 $ax=0$ 这个方程，它的矩阵 $A$ 是一个 $1

imes 1$ 的矩阵，只有一个元素 $a$，因此它的列空间和秩均为 1。如果 $a

eq 0$，那么 $A$ 的秩也为 1，根据上面的公式，解空间的维数就是 $1-1=0$。也就是说，只有一个常数解 $x=0$。如果 $a=0$，那么 $A$ 的秩为 0，根据上面的公式，解空间的维数就是 $1-0=1$。也就是说，解空间只包含一个自由变量，解空间的维数为 1，解向量为 $x=c$，其中 $c$ 是任意常数。

就是解空间中,任何向量,都可以只用2个线性无关的向量来线性表示,

即解空间中,任何一个极大线性无关组中,向量个数是2

解空间的维数可以通过矩阵A的秩来计算。具体地，如果A是一个m×n的矩阵，则解空间的维数等于n-r(A)。这是因为Ax=0的解空间是由所有齐次线性方程组的解构成的，而这些解向量构成的向量组的秩为n-r(A)。因此，解空间的维数等于n-r(A)。

|A|=0，（因为每行都相同）则它必有特征值0，

又因为r(A)=1，（其他三行都和第一行相同）

AX=0的解空间的维数是4-r(A)=3，从而0是A的三重特征值

由于A的各行加起来都是4，

则设X0=(1,1,1,1)^T，便有AX0=4X0，x0是A的一个特征向量，

从而4也是A的特征值．

故A的全部特征值0，0，0，4.