向量的运算法则

向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.

向量的加法OB+OA=OC.

a+b=(x+x',y+y').

a+0=0+a=a.

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a；

结合律：(a+b)+c=a+(b+c).

2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0

向量的减法

AB-AC=CB.即“共同起点,指向被

向量的减法减”

a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').

3、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣.

当λ＞0时,λa与a同方向；

向量的数乘

当λ＜0时,λa与a反方向；

向量的数乘当λ=0时,λa=0,方向任意.

当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.

注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.

实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.

当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；

当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍.

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.

数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律：

① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.

①三角形定则：三角形定则主要是将各个向量依次按照首位顺序相互连接，最后得出的结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的重点，这种解法则是被称之为三角形定则。

②平行四边形定则：而平行四边形定则则是选择以向量的两个边作为平行四边形，而结果则是作为公共起点的一个对角线，平行四边形定则还能解决向量的减法，其中是将向量平移到公共起点上面，然后以向量的两个边作为平行四边形，最终由减向量的重点指向被减向量的重点，而这个平行四边形定则只是可以用来做两个非零非共线向量的加减

1. 向量加法：

对于向量 A 和向量 B，它们的和向量为 C=A+B，C 的大小等于两个向量大小之和，方向等于两个向量之间的夹角。

2. 向量数乘：

向量 A 与一个实数 k（标量）相乘，得到 kA，实际上就是将 A 的长度缩放了 k 倍，且方向与 A 相同或相反。

3. 向量减法：

向量 A 减去向量 B，得到向量 C=A-B，等效于向量 A 加上向量 B 的负向量（-B），C 的方向由 A 到 B 的指向。

4. 点积（内积）：

对于向量 A 和向量 B，它们的点积是一个标量，记作 A·B，其值等于 A 和 B 长度的乘积及它们夹角的余弦值（cosθ）。

5. 叉积（外积）：

向量 A 和向量 B 的叉积是一个向量，记作 A×B，其大小等于 A 和 B 所构成的平行四边形的面积，方向遵循右手法则。

需要注意的是，在进行向量运算时，向量的大小和方向是两个不同的概念，在不同的操作中需要针对不同的方面进行分析和处理。