导数著名定理

洛必塔法则是解决求解“0/0”型与“∞/∞”型极限的一种有效方法，利用洛必塔法则求极限只要注意以下三点：

1、在每次使用洛必塔法则之前，必须验证是“0/0”型与“∞/∞”型极限。否则会导致错误；

2、洛必塔法则是分子与分母分别求导数，而不是整个分式求导数；3使用洛必塔法则求得的结果是实数或∞（不论使用了多少次），则原来极限的结果就是这个实数或∞，求解结束；如果最后得到极限不存在（不是∞的情形），则不能断言原来的极限也不存在，应该考虑用其它的方法求解。洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.

洛必达法则

（定理）

设函数f(x)和F(x)满足下列条件：

（1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0;

（2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0;

（3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大

则 x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))

1）费马引理：

证明的关键：如果在x0处可导，则在x0处的左导数等于右导数等于导数。根据导数定义一边导数大于小于0，一边导数小于大于0，推出导数等于0.

意义：显然(x0，f(x0))是f(x)在x0邻域内的一个极值点，推广：f(x)的极值点（驻点），满足f'(x)=0.给出了求驻点的方法。

2）罗尔定理

证明要点：连续区间存在最大值和最小值，费马引理；两种情况，最大值或者最小值起码有一个不在端点，最大值最小值在端点。

几何意义：连续区间[a,b],如果在开区间可导，且f(a)=f(b),则区间内至少存在一个驻点.

3）拉格朗日中值定理：

证明要点：构造辅助函数G(x)=f(x)-f(a)-(x-a)(f(b)-f(a))/(b-a),罗尔定理.

几何意义：在f(x)上一定存在一个点，过该点的切线平行于ab.

其它意义：可以推出有限增量定理：f(x+Δx)-f(x)=f'(x+θΔx)Δx == Δy=f'(x+θΔx)Δx.

4）柯西中值定理

证明要点：辅助函数 和罗尔定理。

以下是一些著名的导数定理：

1. 导数的线性性质：如果 f(x) 和 g(x) 是两个函数，c 是常数，则有 (cf(x))' = cf'(x) 和 (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)。

2. 乘法法则：如果 f(x) 和 g(x) 是两个可导函数，则有 (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。

3. 除法法则：如果 f(x) 和 g(x) 是两个可导函数，且 g(x) 不等于零，则有 (f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^2。

4. 链式法则：如果 y = f(g(x))，其中 f(u) 和 g(x) 都是可导函数，则有 dy/dx = f'(g(x)) * g'(x)。

5. 反函数的导数：如果 y = f(x) 是一个可导函数，且 f'(x) ≠ 0，那么它的反函数 x = f^(-1)(y) 的导数为 dx/dy = 1/(dy/dx)。

6. 幂函数的导数：如果 y = x^n，其中 n 是任意实数，那么它的导数为 dy/dx = nx^(n-1)。

7. 指数函数的导数：如果 y = a^x，其中 a 是正实数且不等于 1，那么它的导数为 dy/dx = a^x * ln(a)。

8. 对数函数的导数：如果 y = log_a(x)，其中 a 是正实数且不等于 1，那么它的导数为 dy/dx = 1/(x * ln(a))。