一元线性估计量的方差推导

变量之间的非确定性相关关系。一般形式:y = f(x0,x1,x2,…xp)+ε若为线性回归，y = β0+β1x1+β2x2+…+βnxn+εβ0，β1等为回归系数，ε为随机误差。模型假设①零均值，ε均值为0②同方差，ε项方差为常数③无自相关性，ε项值之间无自相关性④正态分布，ε项呈正态分布。

⑤x1，x2等解释变量之间是非随机变量，其观测值是常数。

⑥解释变量之间不存在精确线性关系。⑦样本个数多于解释变量个数。建立回归分析模型的一般步骤①需求分析明确变量②数据收集加工，检查是否满足回归分析断的假设。

③确定回归模型:一元，二元，多元;线性，非线性。画散点图。

④确定模型参数:常用最小二乘法，若不符合假设条件，可用其它方法。最小二乘法也叫最小化平方法，通过使误差的平方和最小来寻找最佳函数匹配。

⑤模型检验优化⑥模型部署应用。优点:模型简单，应用方便;有坚实的理论支撑;定量分析各变量间关系;模型预测结果可通过误差分析精确了解。缺点:假设条件比较多且严格;变量选择对模型影响较大。回归模型的参数估计一元线性回归模型:研究与现象关系最大的主要因素，两者有密切关系，但并非确定性关系，可用该模型。y = β0+β1x+εy为被解释变量或因变量，x为解释变量或自变量。β0回归常数，β1回归系数，二者统称为回归参数。ε为随机误差。其中E(ε) = 0，var(ε) = 常数。一元线性回归方程:y = β0+β1x 忽略随机误差。回归方程从平均意义上表达了变量y与x的统计规律性。回归分析的主要任务是通过n组样本的观察值，对β0，β1进行估计，得到最终方程。参数估计:最小二乘估计(OLE)通过最小二乘法求出对β0，β1的估计值。离差平方和Q(β0,β1)=Σ(yi - E(yi))²=Σ(yi -β0+β1xi)²估计值满足使上式离差平方和最小。其最小值的求法为求其偏导数，并令其为0。求解方程组即可。实操一下。先创建数据，画散点图。

x = [3.4, 1.8, 4.6, 2.3, 3.1, 5.5, 0.7, 3, 2.6, 4.3, 2.1, 1.1, 6.1, 4.8, 3.8] y = [26.2, 17.8, 31.3, 23.1, 27.5, 36, 14.1, 22.3, 19.6, 31.3, 24, 17.3, 43.2, 36.4, 26.1] x = np.array(x) y = np.array(y) print(len(x), len(y)) plt.scatter(x, y) plt.savefig("scatter.png")

建立线性回归模型

df pd.DataFrame() df["X"] = x df["Y"] = y print(df) regr = linear_model.LinearRegression() # 拟合 regr.fit(x.reshape(-1,1), y) # 得到回归参数的二乘法估计 a, b = regr.coef_, regr.intercept_ print(a, b) # 画出拟合的直线 yp = a*x + b plt.scatter(x, y) plt.plot(x, yp) plt.savefig("fit.png")

拟合结果a = 4.91933073 b = 10.277928549524688

另一种参数估计方法:最大似然估计(MLE)利用总体的分布密度或概率分布的表达式及其样本所提供的信息求未知参数估计量的一种方法。基本思路:已知样本符合某种分布，但分布参数未知，通过实验来估计分布参数。估算思路:如果某组参数能使当前样本出现的概率最大，就认为该参数为最终的估计值。解决的是模型已定，参数未知的问题，用已知样本去估算未知参数。出现当前情形的概率为f(x1x2x3…xn|θ)=f(x1|θ)f(x2|θ)f(x3|θ)…f(xn|θ)，其中θ未知。似然函数L(θ|x1x2x3…xn) = f(x1x2x3…xn|θ)=f(x1|θ)f(x2|θ)f(x3|θ)…f(xn|θ)=Πf(xi|θ)前提是事件x之间是独立的。取对数lnL(θ|x1x2x3…xn) = lnf(x1|θ)+lnf(x2|θ)+lnf(x3|θ)+…+lnf(xn|θ) = Σf(xi|θ)平均对数似然l = lnL(θ|x1x2x3…xn)最大似然估计就是找到一个θ使得l最大。求导求出最大值。一元线性回归，OLE和MLE是等价的，MLE还可以估计方差σ²的值。无偏估计，估计不同样本，偏差平均值为0。反之则为有偏估计。一元线性回归方差的性质：

①线性:估计回归参数为随机变量yi的线性函数。

②无偏，估计值y为真实值的无偏估计，即E(y) = E(y)③参数的方差，与样本方差，随机误差的方差等有关系。模型的检验①回归系数是否显著:t检验检验因变量y与自变量x之间是否真的存在线性关系?即β1=0?用t检验进行判断。确定假设:目的是找到不达标的证据。原假设H0:β0=0，备择假设H1:β0≠0检验水平:α=0.05或0.01构造统计量:H0成立时，β1满足正态分布。计算p值。得出结论。

②回归方程是否显著:F检验。根据平方和分解式，直接从回归效果检验回归方程的显著性。

③相关系数显著性检验:t检验。样本相关系数可以作为总体相关系数的估计值，样本相关系数不等于零时需要进行假设检验确定是来自抽样误差还是来自整体。

④决定系数SST = SSR + SSE, SSR占的比重越大，线性回归效果越好。r² = SSR/SST用模型的score函数来给模型评分，结果为0.9234781689805285。还可以用statsmodels库来做，回归结果类似，与sklearn库不同的是它可以输出检验结果。用statsmodels来做

import statsmodels.api as sm X = sm.add_constant(x) model = sm.OLS(y, X) result = model.fit() print("statsmodels做线性回归") print(result.params)

一元线性回归估计量的推算需要先确定回归方程的形式，即Y = β0 + β1X + ε。其中，Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。

接下来，根据最小二乘法原理，可以得到β0和β1的估计量分别为：

β1 = ∑(Xi - X¯)(Yi - Ȳ) / ∑(Xi - X¯)²

β0 = Ȳ - β1X¯

其中，Xi和Yi分别为样本中第i个观测值，X¯和Ȳ分别为样本中所有观测值的平均值。

最后，代入所得到的β0和β1的估计量，就可以得到回归方程的估计值Y'，即Y' = β0 + β1X。