什么叫微积分

（小石头尝试着来回答这个问题）

用生活中通俗易懂的语言描述微积分为：

微分：圆角的桌角的局部放大后近似于平直的，于是膝盖撞上去不会很痛；

积分：土豆的体积近似等于其切出来的土豆条按照长方体计算的体积之和，土豆条切的越细，越准确。

更具体的描述如下：

微积分分为微分和积分两部分，首先，我们来讨论什么是微分？

考虑下面的两个曲线，

某些生活经验（比如：膝盖不小心撞上去的感觉）告诉我们，两个曲线在A点处的特性不同：

蓝色曲线A点处是圆润的；

绿色曲线A点处是棱角的；

进一步，我们在两个曲线A点处用直尺画一条直线，然后放大A点附近的局部：

观察发现，随着局部的不断放大，两种特性的差异表现明显，在A点处圆润的 蓝色曲线 和 直线越来越 贴近，而A点处棱角的 绿色曲线 则和 直线 毫不相干。

蓝色曲线在A点处的表现，就是微分，具体的数学描述如下：

设 蓝色曲线的对应的函数是 f(x)，A 点的 坐标是 (x, f(x))，则可以再 A 处做一个局部坐标 X'AY'：

局部坐标 X'AY'下，蓝色曲线的函数为：

Δf(Δx) = f(x + Δx) - f(x)①

称其为 函数 f(x) 在 A 点处的变化率，而 直线的函数为：

l(Δx) = kΔx②

其中 k 为常数，表示直线的斜率。

根据，上面的分析，我们知道 随着 Δx 的减小，Δf(Δx)和 l(Δx) 越来越 贴近，也就是说，它们的差 Δf(Δx) - l(Δx) 也会越来越小。那么具体，如果描述 这种 贴近呢？

很自然我们会想到：

当 Δx 趋近于 0 时， Δf(Δx) - l(Δx) 也趋近于 0。

③

但是，这用来描述贴近，显然不够，因为考虑绿色曲线（上半段），

发现 Δf(Δx) - l(Δx) = (k'-k) Δx, 也满足当 Δx 趋近于 0 时， Δf(Δx) - l(Δx) 也趋近于 0，但显然 它们不 贴近。于是我们对上面的描述，进行调整：

当 Δx 趋近于 0 时， (Δf(Δx) - l(Δx)) / Δx也趋近于 0（即，Δf(Δx) - l(Δx) 比 Δx 更快的趋近于 0） ③‘

这样，对于绿色曲线 (Δf(Δx) - l(Δx)) / Δx = (k'-k) 显然是非零常数，就被排除了。

令 o(Δx)= Δf(Δx) - l(Δx) 称 为 Δx 的高阶无穷小量，并将，③‘ 写成极限形式为：

于是最终得到：

这个公式就是 函数 f(x) 在 A 点处的微分。

由 ④,① 和 ② 有：

等式两边取极限，再 根据 ③' 得到：

令，

称f'(x) 为 f(x) 在 A 处的导数，当 A 点取满 f(x) 的整个定义域时，称 f'(x) 为 f(x) 的导函数，f(x) 为 f'(x) 的原函数。

至此，微分就讨论完毕，接着，我们讨论什么是积分？

积分又分为：不定积分 和 定积分，先说 不定积分。

设 f(x) 是 函数 F(x) 的导函数，即，f(x) = F'(x)，现在已知 f(x) 求原函数 F(x)，令，

称为不定积分。

也就是说，不定积分，就是求导的 逆运算。

然后是，定积分 也称为 黎曼积分，我们看一则故事（本故事纯属虚构）：

自从阿基米德发明排水法后，测量不规则物体的体积已经不是问题。有一天，阿基米德去餐馆吃午餐结果忘了带钱，刚好老板也是一个数学爱好者，于是老板对阿基米德说：“如果 阿基米德先生 可以 只用 带刻度的直尺 测量出土豆的体积，这一顿就免费”。阿基米德最近正在用割圆法计算圆周率，于是很快找到了解决问题的方法：

只见他，迅速用直尺的将土豆切成土豆条，然后将每个土豆条近似当做 长方体，用 直尺量出其长宽高，进而计算出 每个土豆条的近似体积，最后将 所有 土豆条 的体积加起来就是整个 土豆的体积。

餐馆老板，提出质疑，认为 将 土豆条 近似的 当做 长方体，不准确。阿基米德，反问到：

如果，我将每个土豆条在改刀成 更细的 土豆条，是不是就更精确了？

餐馆老板，想了一想，土豆条不准确，就是因为两端是土豆的不规则表面，如果 土豆条根细，那么 规则表面的面积就会更小，误差就会更新。于是回是

阿基米德，接着解释：既然，将 土豆条 继续细分，就会得到更高的 精度，那么无限细分下去，总可以得到 准确的 值。

餐馆老板虽然不得不承认这个结果，仍然不满意，他认为：这样无限细分下去，无法结束，因此最终还是得不到这个 准确的 值。

阿基米德，接着说：在现实中，当然不能，但是在数学中就可以了。

可是餐馆老板，依旧不买账，正当两人争执的不可开交时，旁边桌子上，一个年轻人站了起来，说：二位不要争论了，我愿意为这位 阿基米德 先生 付钱。

于是，阿基米德吃完免费的吃午，回去继续计算他的圆周率去了。

而这个年轻人，也马上也返回了自己的住所，并按照 阿基米德 想法，用数学的方法对切土豆进行了 描述，这就是：黎曼积分。这个年轻人就是 黎曼。

最简单的黎曼积分可以用于计算 函数 f(x) 和 X 轴 在 区间 [a, b] 之间围成的 曲边梯形 面积，

我们在 a 和 b 之间插入一系列点：

a = x₀ < x₁ <... x_{n-1} < b = x_n

这样将 一个大的 曲边梯形 Λ = ay₀y_nb 分割为 一系列小的 曲边梯形：

δ₁, ... δ_n

其中， 任意 小曲边梯形δᵢ = xᵢ₋₁yᵢ₋₁yᵢxᵢ 的面积近似于 小矩形 σᵢ = xᵢ₋₁y’ᵢ₋₁y‘ᵢxᵢ 的面积：

Sᵢ =f(ξᵢ) Δxᵢ

这里， ξᵢ 是 xᵢ₋₁ 和 xᵢ 之间任意一点，Δxᵢ = xᵢ - xᵢ₋₁。

于是Λ 的 面积 S 就近似为，这些 小矩形 的 面积之和：

让，λ = max{Δx₁, ..., Δx_n} ， 则 当 λ → 0 时，S' → S，记为：

这就 黎曼积分。

注意： 黎曼积分 还可以 扩展为 勒贝格积分，但是 这 牵扯测度论，比较复杂，不适合这里讨论。

最后，是著名的 牛顿-莱布尼兹公式：

它将 不定积分 和 定积分 关联在一起。

诚如故事所述的那样，黎曼积分不仅可以用于计算曲边梯形面积，还可以计算三维物体的体积，当然还可以 计算，更高维度物体的体积，曲线的质量，物体沿曲线做的功，另外，微分也还可以扩展到 多维 函数 和 向量函数的情况，这些内容属于《多元微积分》其基本原理 和 上面 所述的《一元微积分》类似，这里就不展开讨论了。

（由于小石头数学水平有限，出错在所难免，欢迎各位老师和同学批评指正！）

我就简单的说一下：所谓微分就是无限分割，也就是说你想要多么小它就多么小，满足你需要“小到多少”的条件！现举一例：我们知道速度等于路程（位移）除以时间（位移所用的时间），同理，表示为：U=St—S0/t—to，也就是德尔塔S除以德尔塔t，那么把微分符号加上就是基本微分式了，即：du=ds/dt。积分下次再说吧

微积分是连续的，不是量子世界的一份一份的东西。是从宏观世界看微观世界，微观世界的和等于宏观世界。这与量子世界不同，量子的微观世界之和不会简单的等于现实世界。

这样，经典微积分可以在必要时候丢弃无穷小量，也可以对无穷小量进行对此变化率。可以用不同的变化率组合表示另一种变化率。

微积分有墙挡着，这就是极限，无论你怎么朝这个方向走，都不能突破。局部也有墙，那就是极值。

微积分是导航，给定一个方向，迈出无穷小的一步。再给一个方向，迈出无穷小的一步。

微积分，可以理解为把世界上的曲线，不规则面积，都分隔成非常小（无限小的概念）的一段一段，或者一块一块无限接近规则图形的图形，然后把一段一段的最小直线（无限小）或者无限接近规则图形的图像，加起来就是这个曲线的长度或者是这图形的面积。这里面就涉及到，无穷小概念（曲线上的两个点，无限接近直线），导数概念（曲线上某个点可导，表示这个曲线在这点上是连续的，否则无法计算面积），积分概念（在笛卡尔坐标上，X轴从一个点到另外一个点，这两点之间的无限的最小面积相加，就是我们要的总面积。计算结果就是，这个面积无限接近实际面积……。

微积分的核心思想在于微分和积分，简单理解：微分就是无限切割，积分就是求和。

1.二维问题的不规则四边形面积问题，就是把曲边梯形先切割，切割n份，再把每一份的面积算出来，加起来就是曲边梯形的面积

2.三维问题就好像是求一个面包的体积，可以把面包切片，切n片，再把每片的体积算出来加到一起，就是整个面包的体积；