矩阵的直接三角分解法

一、矩阵的三角分解法

定义：矩阵 A 分解为一个单位下三角阵（L）和一个上三角阵（U）的乘积的形式，称为对 A 三角分解。即：

其中，，

现考虑方程组： ，设 ，则

通过 2 式求得Y 的解，然后带入 1 式，求得 X 的解。因为 1、2 式都是关于三角矩阵的求解，所以求解过程很方便简单。

二、消去法与三角分解

设把第一行 乘以 ，加到 第 i 行上，把 变成 0. 即通过行变换把 变成 0。

左乘行变换，右乘列变换。即

，可以发现，要化为上三角需要 n-1 步。

消去过程用矩阵表示为：

三、解线性方程组的LU分解法

定理：（矩阵的LU分解定理）

若 n 阶方阵 的各阶主子式均不为零，则存在唯一的单位下三角阵 和上三角阵 ，使 。

设 ，则

如下：

第一步，如下：

1、 ，没有变化

2、 ，

第二步，如下：

即减去所在 列，所在行 对应的上级所有 与 的乘积。

算 同上的基础上，在除以所在列的

以后重复第二步，不过再算 、 的时候，减去的是：所在 列，所在行 对应的上级所有 与 的乘积 的和。

举个例子：

作 LU 分解

解：

将方程组Ax ＝ b 中的A分解为A＝LU，其中L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵，则方程组Ax＝b化为解两个方程组Ly=b,Ux=y

matlab 代码如下

function test

A = [1 2 -12 8;

5 4 7 -2;

-3 7 9 5;

6 -12 -8 3];

b = [27;

4;11;

49];

[n m] = size(A);

Ab = [A b];

mb = m + 1;

Ab(2:n, 1) = Ab(2:n, 1) / Ab(1, 1);

for k = 2 : n

for j = k : mb

Ab(k, j) = Ab(k, j) - Ab(k, 1:k-1)*Ab(1:k-1, j);

end

for i = k+1 : n

Ab(i, k) = ( Ab(i, k) - Ab(i, 1:k-1)*Ab(1:k-1, k) ) / Ab(k, k);

end

end

Ab

x = zeros(n, 1);

x(n,1) = Ab(n, mb) / Ab(n, n);

for i = n-1 : -1 : 1

x(i, 1) = (Ab(i, mb) - Ab(i, i+1:n)*x(i+1:n, 1)) / Ab(i, i);

end

《矩阵的直接三角分解法》（Direct Triangular Decomposition，简称DTD）是一种将矩阵分解为下三角矩阵和上三角矩阵的方法。具体来说，设矩阵 $A$ 可以分解为下三角矩阵 $L$ 和上三角矩阵 $U$ 的乘积，即 $A=LU$，其中 $L$ 的对角线元素为 $1$，$U$ 的对角线元素为 $A$ 的对角线元素。

DTD 的求解过程可以通过高斯消元法来实现。具体来说，可以将矩阵 $A$ 与一个单位矩阵 $I$ 拼接起来，形成一个增广矩阵 $[AI]$，然后对这个增广矩阵进行高斯消元，直到左边的矩阵变为上三角矩阵。此时，右边的矩阵就是一个下三角矩阵，它的对角线元素就是矩阵 $A$ 的对角线元素。

DTD 的求解过程可以用下面的步骤来描述：

1. 对矩阵 $A$ 进行高斯消元，直到左边的矩阵变为上三角矩阵。

2. 对右边的下三角矩阵进行求解，得到矩阵 $U$ 和对角线元素 $D$。

3. 将矩阵 $D$ 赋值给矩阵 $A$ 的对角线元素，得到上三角矩阵 $L$。

需要注意的是，DTD 的求解过程并不总是能够得到一个唯一的分解结果。在某些情况下，可能存在多个不同的 DTD 分解结果，这些分解结果可能会对应到不同的特征向量或者特征值。因此，在实际应用中，需要根据具体问题来选择合适的分解结果。