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连续可导函数的导函数一定连续吗

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  • 我们想要证明我们知道在的闭区间中连续,开区间中可导(之所以不打括号是因为我们不知道谁大)。由拉格朗日中值定理可知,在所组成的开区间中存在,使得。这里注意当时,代入我们想要求的极限,可得。得证。在这个情况下导数的确在处连续,

    但是这是因为题目中假设了导数在处存在极限。

    若没有这个假设,则导数不一定连续。

    举个例子来说,若,易证该函数处处可导,但是导数在处不连续。这是因为在时,导数的极限不存在

    2023-10-23 19:19:00
  • 连续可导函数的导函数不一定是连续的。例如f(x)=x^2*sin(1/x),当x不等于0时,f(x)=0,这个函数在域内任何点都可导,但导数不连续。总之函数可导,函数一定是连续的,但不能确定导函数是连续的。如果函数可导,且多阶可导,这个函数就是越光滑的。

    2023-10-23 19:19:00
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