二次函数对称轴性质知识点总结

1、二次函数的定义 一般地，形如y=ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数．如y=3x2，y=3x2－2，y=2x2＋x－1等都是二次函数． 注意：

(1)二次函数是关于自变量的二次式，二次项系数a必须是非零实数，即a≠0，而b，c是任意实数，二次函数的表达式是一个整式； (2)二次函数y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，自变量x的取值范围是全体实数； (3)当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数； (4)一个函数是否是二次函数，要化简整理后，对照定义才能下结论，例如y=x2－x(x－1)化简后变为y=x，故它不是二次函数． 2、二次函数y=ax2的图象和性质 （1）函数y=ax2的图象是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫抛物线．实际上所有二次函数的图象都是抛物线． 二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，它的顶点坐标是(0，0)． ①当a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升，顶点是抛物线上位置最低的点，也就是说，当a>0时，函数y=ax2具有这样的性质：当x<0时，函数y随x的增大而减小；当x>0时，函数y随x的增大而增大；当x=0时，函数y=ax2取最小值，最小值y=0； ②当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降，顶点是抛物线上位置最高的点．也就是说，当a<0时，函数y=ax2具有这样的性质：当x<0时，函数y随x的增大而增大；当x>0时，函数y随x的增大而减小；当x=0时，函数y=ax2取最大值，最大值y=0； ③当|a|越大时，抛物线的开口越小，当|a|越小时，抛物线的开口越大． （2）二次函数y=ax2的表达式的确定 因为二次函数y=ax2中只含有一个需待定的系数a，所以只需给出x与y的一对对应值即可求出a的值． 3、二次函数y=ax2＋c的图象与性质 (1)抛物线y=ax2＋c的形状由a决定，位置由c决定． (2)二次函数y=ax2＋c的图象是一条抛物线，顶点坐标是(0，c)，对称轴是y轴． 当a>0时，图象的开口向上，有最低点(即顶点)，当x=0时，y最小值=c．在y轴左侧，y随x的增大而减小；在y轴右侧，y随x增大而增大． 当a<0时，图象的开口向下，有最高点(即顶点)，当x=0时，y最大值=c．在y轴左侧，y随x的增大而增大；在y轴右侧，y随x增大而减小． (3)抛物线y=ax2＋c与y=ax2的关系． 抛物线y=ax2＋c与y=ax2形状相同，只有位置不同．抛物线y=ax2＋c可由抛物线y=ax2沿y轴向上或向下平行移动|c|个单位得到．当c>0时，向上平行移动，当c<0时，向下平行移动．

二次函数y=αX平方十bⅹ+C(其中α，b，C为常数，并且α≠0)的图象是一条抛物线，也是轴对称图形。

α决定了抛物线的开口方向和抛物线的开口大小，α>0，开口向上，图象有最低点，函数有最少值，当a<0时，开口向下，图象有最高点，函数有最大值。|a|的值越大，抛物线开囗越小，α，b共同决定对称称的位置，ab>0，对称轴在y轴的左侧，αb<0，对称称在y轴的右侧，αb=0，对称轴为y轴。