剩余类加群与对称群的区别

剩余类加群（coset）和对称群（symmetric group）是群论中两个不同的概念，它们具有不同的性质和定义。

剩余类加群：在群论中，给定一个群G和它的一个子群H，剩余类是指将G中的元素按照H的陪集划分成若干个子集的过程。对于群G和它的子群H，对于任意元素a∈G，H的左陪集是形如aH={ah | h∈H}的集合，右陪集是形如Ha={ha | h∈H}的集合。剩余类加群是指群G关于其子群H的剩余类构成的集合，通常用G/H表示。剩余类加群是一个集合的集合，其中每个元素都是群G中的一个陪集。

对称群：对称群，也称置换群，是由一个有限集合上的所有置换（排列）所构成的群。设S是一个有限集合，包含n个元素。对称群S_n是由S上所有可能的置换所组成的群，记作S_n。对称群是一个很重要的群，在群论中有着广泛的应用，特别是在组合数学和抽象代数中。

因此，剩余类加群是关于群G和它的子群H的陪集构成的集合，而对称群是一个有限集合上的所有置换构成的群。这两个概念在群论中有着不同的含义和作用。

剩余类加群和对称群在定义和性质上存在一些区别。

剩余类加群是指在一个集合上定义了加法运算后，将集合中的元素分为若干等价类，每个等价类中的元素对于加法运算互相对等。剩余类加群是一个半群，当且仅当存在一个元素e，使得对于任意元素x，e+x+e=x，且e是唯一的。

对称群是指在一个集合上所有双射的集合，该集合关于映射的复合运算构成了一个群。当集合为有限集时，称其为有限对称群。

总的来说，剩余类加群是针对一个集合上的加法运算定义的，而对称群则是针对一个集合上所有双射的复合运算定义的。在数学中，它们都有广泛的应用。

概念不同！

剩余类加群是指一个群中将子群的元素与群中的元素进行乘法运算得到的结果集合。

对称群是指一个集合上的所有置换所构成的群。

是两个不同的概念。

剩余类加群是对给定正整数n，集合{0，1，……n-1}关于模n加法构成的群。剩余类加群是把全体整数按其对模m同余的数归为一类，称为剩余类。

而对称群是指设X是一个集合（可以是无限集），X上的所有置换构成的族记为S(x)，S(x)关于映射的复合运算构成了一个群，当X是有限集时，设X中的元素个数为n，则称群S(x)为n次对称群。

因此，剩余类加群和对称群在定义和应用上都有不同的特点。

剩余类和对称群都是群论中的基本概念，它们的区别如下：

1. 定义不同：剩余类是指对于群的一个子群，其余元素按照与该子群中元素相似的方式可以被分成若干个剩余类，这些剩余类是群的陪集。而对称群是指一个物体或结构的对称操作所组成的群。

2. 对象不同：剩余类是针对群的子群而言的，是群的一种性质。对称群是针对一个具体的物体或结构而言的，是该物体或结构的一种性质。

3. 应用不同：剩余类可用来描述一些抽象结构中的子结构，例如在群论、环论、域论、模论、拓扑学等领域中经常涉及到它。而对称群则是描述物体或结构的性质，例如晶体学、图形学、力学等领域中都有对称群的应用。

综上所述，剩余类和对称群在定义、对象和应用上都有所不同，但它们都是重要的群论概念。