怎么证明效用函数拟凹性

证明效用函数拟凹性一般会使用二阶条件。具体来说，设$x_1$和$x_2$是两个不同的消费束，它们对应的效用分别为$u_1$和$u_2$，$x^*=alpha x_1+(1-alpha)x_2$是这两个消费束的凸组合，其中$0<alpha<1$。如果效用函数$u(x)$是拟凹的，那么必须证明有：

1. $u(x^*)geq alpha u(x_1)+(1-alpha)u(x_2)$

2. $alphaleft[left(frac{partial u(x_1)}{partial x_i}

ight)^2(frac{partial^2 u(x^*)}{partial x_i^2})+(frac{partial u(x^*)}{partial x_i})^2(frac{partial^2 u(x_1)}{partial x_i^2})

ight]+(1-alpha)left[left(frac{partial u(x_2)}{partial x_i}

ight)^2(frac{partial^2 u(x^*)}{partial x_i^2})+(frac{partial u(x^*)}{partial x_i})^2(frac{partial^2 u(x_2)}{partial x_i^2})

ight]leq 0$

其中，$i$代表$x$的某一维度。

如果满足以上两点条件，那么效用函数$u(x)$就是拟凹的。其中条件1的含义是效用函数值在$x_1$和$x_2$之间的线段上，$x^*$的效用值是最高的。条件2的含义是给定一条经过$x^*$的直线，这条直线截取的效用函数值是拟凹的。

需要注意的是，拟凹性是一种比较强的假设，因此在实践中经常使用某些较弱的假设比如局部拟凹性。

现在一般的高数书不称“凸性”“凹性”而称“上凸”“下凸”上凸（f（x1）＋f（x2））＆＃47；

2＆lt；＝f（（x1＋x2）＆＃47；

2）下凸（f（x1）＋f（x2））＆＃47；

2＆gt；＝f（（x1＋x2）＆＃47；

2）

要证明一个函数的效用函数是拟凹的，需要进行以下步骤：

1. 假设函数为 $U(x_1,x_2,...,x_n)$，其中 $x_1,x_2,...,x_n$ 是决策变量。

2. 对于任意的 $x,y$，以及 $0 leq lambda leq 1$，有 $U(lambda x + (1-lambda)y) geq lambda U(x) + (1-lambda)U(y)$。

可以证明效用函数的二阶导数大于等于0即可证明其拟凸性。

我们可以通过以下步骤来证明它的拟凹性：

1. 首先求取效用函数的一阶导数和二阶导数；1然后令效用函数的二阶导数大于等于0；1如果效用函数的二阶导数大于等于0，则说明其拟凹性成立，即任何两个点之间的线段都在效用函数下方；1也就是说，对于同一件物品，当它的数量很少或过多时，效用会降低；中间数量时效用会最大，也就是拐点。

因此，只要效用函数的二阶导数大于等于0，我们就可以证明其拟凸性，从而说明这个函数具有拟凹性。