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全部3个回答 >三坐标法向值计算公式
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平面几何中，一点关于给定三角形的三线坐标描述了它到三角形三条边的相对距离。三线坐标是齐次坐标的一个例子，经常简称为三线。
例子
内心有三线 1:1:1，这就是说，从三角形 ABC 的内心到边 BC、 CA、AB 的有向距离和实际距离有序三元组 (r, r, r) 成比例，这里 r 是三角形 ABC内切圆的半径。注意到记号 x:y:z 用比例冒号区分三线和实际有向距离。实际距离有序三元组 (kx, ky, kz)，能从比例 x : y : z 得到，利用面积关系不难算得
k=2σ/ax+by+cz
这里 a, b, c 分别是边长 BC、 CA、 AB， σ = ABC 的面积。（“逗号记法”应该避免使用。因为记号 (x, y, z) 意味着是一个有序三元组，不允许 (x, y, z) = (2x, 2y, 2z) 之类运算；然而“比号记法”允许 x : y : z = 2x : 2y : 2z。）
设 A、B 和 C 不仅表示三角形的顶点，也是在相应顶点的角。一些熟知点的三线如下：
A = 1 : 0 : 0
B = 0 : 1 : 0
C = 0 : 0 : 1
内心 = 1 : 1 : 1
A-旁心 = −1 : 1 : 1
B-旁心 = 1 : −1 : 1
C-旁心 = 1 : 1 : −1
外心 = cos A : cos B : cos C
垂心 = sec A : sec B : sec C
九点圆圆心 = cos(B − C) : cos(C − A) : cos(A − B)
重心 = bc : ca : ab = 1/a : 1/b : 1/c = csc A : csc B : csc C
类似重心 = a : b : c = sin A : sin B : sin C
注意到，内心一般不是重心，重心有重心坐标 1:1:1（它们和实际有向面积 BGC、 CGA、AGB 成比例，这里 G = 重心）。
公式
利用三线坐标可将许多代数方法运用于三角形几何。比如，三点
P = p : q : r
U = u : v : w
X = x : y : z
是共线的，当且仅当行列式等于 0。这性质的对偶是三条直线
pα + qβ + rγ =
2023-10-23 20:52:22 -
Nx = (f(x+Δx,y,z) - f(x-Δx,y,z)) / 2Δx
Ny = (f(x,y+Δy,z) - f(x,y-Δy,z)) / 2Δy
Nz = (f(x,y,z+Δz) - f(x,y,z-Δz)) / 2Δz
其中，Nx、Ny、Nz分别表示物体表面在x、y、z轴方向上的法向量大小；f(x, y, z)表示物体表面在点（x, y, z）处的高度或深度； Δx、 Δy、 Δz分别表示沿着每个轴需要移动多少距离才能得到足够精确的结果。
需要注意的是，在实际应用中，我们通常会将三个方向上得到的法向量进行归一化处理，以消除长度对结果产生影响。
2023-10-23 20:52:22
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