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余弦定理公式的推导过程
1、平面三角形证法
在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，作AD⊥BC于D，则AD=c*sinB，DC=a-BD=a-c*cosB
在Rt△ACD中，
b²=AD²+DC²=(c*sinB)²+(a-c*cosB)²
=c²sin²B+a²-2ac*cosB+c²cos²B
=c²(sin²B+cos²B)+a²-2ac*cosB
=c²+a²-2ac*cosB
2、平面向量证法
有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小)
∴c·c=(a+b)·(a+b)
∴c²=a·a+2a·b+b·b∴c²=a²+b²+2|a||b|cos(π-θ)
又∵cos(π-θ)=-cosθ(诱导公式)
∴c²=a²+b²-2|a||b|cosθ
此即c²=a²+b²-2abcosC
即cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b
2023-10-23 22:04:36 -
余弦定理的证明可以采取向量法。具体推导如下：在△ABC中，AB，BC，CA的长分别为c,a,b.恕我向量不会用手机输入，向量符号暂用＾替代，因为向量^AC=^AB+^BC，所以^AC^AC=(^AB+^BC)^(^AB+^BC)=^AB²+2^AB^BC+^BC²=^AB²+2^|AB|^|BC|cos（180°-B）+^BC²=c²-2cacosB+a²=b²，即b²=a²+c²-2accosB.同理可证a²=b²+c²-2bccosA，c²=a²+b²-2abcosC。
2023-10-23 22:04:36
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