如何将直线的普通方程化为参数方程

例如圆x^2＋y^2＝4x参数方程的表示：先配方(x－2)^2＋(y－0)^2＝2^2，再令x－2＝2×cost，y－0＝2×sint，得参数方程：x＝2＋2cost，y＝2sint其中t表示的是圆上某一点P(x,y)与圆心A(2，0)组成的射线AP与x轴的夹角，所以t∈[0，2π]极坐标方程的表示：

由圆的方程x^2＋y^2＝4x，代入x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得圆的极坐标方程ρ＝4cosθ这里的ρ表示圆上一点P(x,y)到极点，也就是坐标原点〇的距离.角度θ的范围一般有两种表示方法，一种是θ表示从极轴逆时针转向射线〇P的角度的大小，所以θ的范围[0，2π]；

另一种是θ是表示射线〇P与极轴，也就是x轴的夹角，并且规定极轴上方的夹角为正，下方为负，所以θ的范围是[－π，π].很明显，对于圆x^2＋y^2＝4x来说，θ的表示用第二种形式会简单些，即θ∈[－π/2，π/2]所以，圆x^2＋y^2＝4x的参数方程是x＝2＋2cost，y＝2sint，t∈[0，2π]极坐标方程是ρ＝4cosθ，θ∈[－π/2，π/2]。

设直线方程为：y=kx+b,k=tanα=m,α为直线的倾角,M(x₁,y₁)是直线上的任意一点,那么直线的参数方程可写为;x=x₁+nt 或 x=x₁+tcosαy=y₁+mt y=y₁+tsinα。

关键就是设出一个参数,把原来的普通方程中的x,y替换,这是总体思路,但到具体的问题得具体分析,设置这个参数是有技巧的,方法多种多样,不唯一。

1.比如直线y=x+5，令x=t,那么：y=t+5

所以该直线的参数方程为： x=，{ y=t+5

2.再如直线 2x+y-4=0，令y=t,那么：2x+t-4=0,易得：x=(4-t)/2所以直线的参数方程为： x=(4-t)/2， y=t

3.比如对于圆的方程：x^2+y^2=4,设置参数方程为：x=2cosa,y=2sina4.再例如椭圆方程,x^2/9+y^2/16=1,设置参数可为：x=3cosa,y=4sina

设直线方程为：y=kx+b,k=tanα=m,α为直线的倾角,M(x₁,y₁)是直线上的任意一点,那么直线的参数方程可写为;x=x₁+nt 或 x=x₁+tcosαy=y₁+mt y=y₁+tsinα。

关键就是设出一个参数,把原来的普通方程中的x,y替换,这是总体思路,但到具体的问题得具体分析,设置这个参数是有技巧的,方法多种多样,不唯一。

1.比如直线y=x+5，令x=t,那么：y=t+5

所以该直线的参数方程为：x=，{ y=t+5

2.再如直线 2x+y-4=0，令y=t,那么：2x+t-4=0,易得：x=(4-t)/2所以直线的参数方程为：x=(4-t)/2，y=t

3.比如对于圆的方程：x^2+y^2=4,设置参数方程为：x=2cosa,y=2sina4.再例如椭圆方程,x^2/9+y^2/16=1,设置参数可为：x=3cosa,y=4sina

假设原来直线经过点(x。，y。)且其倾斜角为θ，原来直线的方程为y一y0=tanθ(x-x0)，那么直线的参数方程为x=xo十tcosθ，y=y。十tsinθ(联立)，t为参数。写直线的参数方程一般的条件是直线经过一个定点，且倾斜角为θ。其中t为参数，表示为直线上的动点到定点(ⅹ。，y。)的有向线段的数量。

首先在直线上任取一点P（x0，y0），再找到直线的斜率k，即倾斜角的正切值tanα=k，进而可以得到倾斜角的余弦值cosα和正弦值sinα，则可以得到直线的参数方程为：x=x0+tcosα，y=y0+tsinα，（t为参数）。

如果是写直线参数方程的一般式，那就容易了，随便取x=t，解出y即可。