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全部3个回答 >如何求一次同余式的解
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若有形如 $ax equiv b pmod{m}$ 的一次同余式，要求它的解，需要按以下步骤进行：
1.首先，如果 $gcd(a,m)
mid b$，那么这个同余式无解。因此，需要先检查 $gcd(a,m)$ 是否整除 $b$。
2.记 $d = gcd(a,m)$，$a' = dfrac{a}{d}$，$m' = dfrac{m}{d}$，$b' = dfrac{b}{d}$。把原来的同余式化为 $a'x equiv b' pmod{m'}$。由于 $gcd(a',m') = 1$，因此这个同余式可以转化为 $a'x equiv 1 pmod{m'}$。
3.确定 $a'$ 的逆元 $a'^{-1}$ 模 $m'$。可以用扩展欧几里得算法求解，即求解 $a'x + m'y = 1$ 的一组整数解 $(x,y)$，然后取 $a'^{-1} equiv x pmod{m'}$。如果 $gcd(a',m')
eq 1$，则 $a'$ 没有逆元，同余式无解。
4.解得 $x equiv a'^{-1}b' pmod{m'}$ 是同余式的一个解。
5.由于原来的同余式是 $ax equiv b pmod{m}$，因此可以用 $x equiv a'^{-1}b' + km'$ 这个形式表示同余式的全部解，其中 $k$ 是整数。
2023-10-23 23:03:53 -
1 一次同余式方程是指形如ax ≡ b (mod m)的方程，其中a、b、m为整数，且m≠0。
2 解这个方程的前提是a和m互质，否则解可能不存在或者不唯一。解法如下：将方程变形为ax + my = b，用扩展欧几里得算法求出一组整数解x0和y0，然后通解为x ≡ x0 (mod m/d)，其中d为a和m的最大公约数。
3 一次同余式方程是模运算的基础，常用于密码学和计算机科学中。
2023-10-23 23:03:53
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