什么叫矢量正交归一

矢量正交归一（Vector Orthogonalization and Normalization）是一种常见的线性代数变换方法，用于将一组线性无关的矢量转化为一个标准正交基，方便矢量计算和线性代数运算。

具体来说，对于一组具有 $n$ 个元素（$n$ 维向量）的矢量 ${v_1, v_2, ..., v_n}$，矢量正交归一化的方法是：

1. 对于第一个矢量 $v_1$，直接进行归一化，即将其长度标准化为 1。

2. 对于第二个矢量 $v_2$，计算其与第一个矢量 $v_1$ 的点积，将其投影到 $v_1$ 上得到一个新的矢量 $p$，然后将 $v_2$ 减去它在 $v_1$ 上的投影，即 $v_2=p-cv_1$。这样得到的 $v_2$ 与 $v_1$ 正交。

3. 用同样的方法处理第三个矢量 $v_3$，先将 $v_3$ 归一化得到 $widehat{v_3}$，然后计算其在 $v_1$ 和 $v_2$ 上的投影，得到 $p_1$ 和 $p_2$，最后将 $v_3$ 减去它在 $v_1$ 和 $v_2$ 上的投影，即 $v_3=p_1+q-cv_1-dv_2$。这样得到的 $v_3$ 既与 $v_1$ 正交，又与 $v_2$ 正交。

4. 以此类推处理所有剩余的矢量，经过归一化和投影，最终得到一组标准正交矢量，它们之间互相正交，长度为 1，可以用作求解线性方程组、计算矩阵特征值、进行张量分析等线性代数计算。

矢量正交归一化是很多数学和工程中必须的基础知识，可以大量提高计算效率和简化问题求解。

我们已经知道了矢量基底的概念，如果

N

N 维空间中一组矢量基底中的每个矢量模长都为

1

1 且每两个矢量都正交，则我们把这组基底称为正交归一基（orthonormal bases），也叫单位正交基．若把这组正交归一基记为

^

x

1

^

x

2

…

^

x

N

x^1,x^2…x^N，则正交归一可以用内积表示为

^

x

i

⋅

^

x

j

=

δ

i

j

(

i

j

=

1

…

N

)

(1)

(1)x^i⋅x^j=δij(i,j=1,…,N)

其中

δ

i

j

δij 是克罗内克 delta 函数．简单来说就是任意两个不同的基底点乘为零，以及任意基底与自身的点成为 1．

单位正交基是某个空间的基底，所以该空间中任意矢量

v

v 在单位正交基上的展开

v

=

N

∑

i

=

1

c

i

^

x

i

(

i

=

1

…

N

)

(2)

(2)v=∑i=1Ncix^i(i=1,…,N)

其中

c

i

ci 就是

v

v 的各个坐标．由正交归一性可以证明（见下文）

c

i

=

v

⋅

^

x

i

(

i

=

1

…

N

)

(3)

(3)ci=v⋅x^i(i=1,…,N)

或者把式 2 记为

v

=

N

∑

i

=

1

(

v

⋅

^

x

i

)

^

x

i

(

i

=

1

…

N

)

(4)

(4)v=∑i=1N(v⋅x^i)x^i(i=1,…,N)

最常见的例子就是几何矢量在直角坐标系的

^

x

^

y

^

z

x^,y^,z^ 三个单位正交矢量上的展开：

v

=

(

v

⋅

^

x

)

^

x

+

(

v

⋅

^

y

)

^

y

+

(

v

⋅

^

z

)

^

z

=

x

^

x

+

y

^

y

+

z

^

z

(5)

(5)v=(v⋅x^)x^+(v⋅y^)y^+(v⋅z^)z^=xx^+yy^+zz^

1. 证明

矢量正交归一，正交性是指定态的波函数之间是互相正交的,也就是说一个波函数与另一个波函数的共轭的乘积在给定区间积分是零. 归一性是指任一时刻波函数的模的平方在整个空间中的体积分是1,就是说粒子在整个空间中的概率总和要等于一.

矢量正交归一是指将一组向量进行处理，使其满足正交性和归一化的条件。

正交性：当两个向量的内积等于零时，它们是正交的。换句话说，两个正交向量之间的角度为90度，它们在空间中互相垂直。正交性在许多数学和物理问题中是非常重要的概念。

归一化：将向量的模长(长度)缩放到1，即使其成为单位向量。一个单位向量的模长为1，具有方向但没有特定的大小。

矢量正交归一的步骤如下：

1. 首先，确定一组向量。

2. 确认向量之间的正交性。通过计算向量之间的内积，如果内积为零，则表明两个向量是正交的。

3. 对于正交的向量，将其进行归一化。通过将向量除以其模长(向量的长度)来实现归一化，使其成为单位向量。

矢量正交归一的目的是为了简化计算和分析，同时也能提供一种更直观的表示方式，以便更好地理解和应用向量概念。在许多领域，如线性代数、信号处理、机器学习等，矢量正交归一常常被应用于数据处理和某些数学运算中。